1. Planteamos el problema: Dada la función $A(x) = x^2 - 5x + 6$, determinaremos los valores de $x$ para los cuales el número de asistentes está entre 0 y 10 unidades. 2. Para encontrar los valores de $x$ tales que $0 < A(x) < 10$, primero analizamos las desigualdades por separado. 3. Resolvemos $A(x) > 0$: $$x^2 - 5x + 6 > 0$$ Factorizamos el trinomio: $$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$$ Entonces: $$(x - 2)(x - 3) > 0$$ Esto es positivo cuando ambos factores son positivos o ambos negativos: - $x < 2$ (ambos negativos) - $x > 3$ (ambos positivos) 4. Resolvemos $A(x) < 10$: $$x^2 - 5x + 6 < 10$$ Restamos 10 a ambos lados: $$x^2 - 5x + 6 - 10 < 0$$ $$x^2 - 5x - 4 < 0$$ Calculamos las raíces de $x^2 - 5x - 4 = 0$ usando la fórmula cuadrática: $$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 16}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{41}}{2}$$ Aproximadamente: $$x \approx \frac{5 - 6.4}{2} = -0.7, \quad x \approx \frac{5 + 6.4}{2} = 5.7$$ Como el coeficiente principal es positivo, la parábola abre hacia arriba, por lo que la desigualdad $x^2 - 5x - 4 < 0$ se cumple entre las raíces: $$-0.7 < x < 5.7$$ 5. Combinamos ambas condiciones para $0 < A(x) < 10$: $$x < 2 \quad \text{o} \quad x > 3$$ y $$-0.7 < x < 5.7$$ La intersección es: - Para $x < 2$ y $-0.7 < x < 5.7$ es $-0.7 < x < 2$ - Para $x > 3$ y $-0.7 < x < 5.7$ es $3 < x < 5.7$ Por lo tanto: $$-0.7 < x < 2 \quad \text{o} \quad 3 < x < 5.7$$ 6. Para la parte b), determinamos los valores de $x$ para los cuales $A(x)$ es positivo: Como vimos en el paso 3, $A(x) > 0$ para: $$x < 2 \quad \text{o} \quad x > 3$$ 7. Resumen: - a) $-0.7 < x < 2$ o $3 < x < 5.7$ - b) $x < 2$ o $x > 3$ Estos intervalos indican los valores de $x$ para los cuales el número de asistentes está entre 0 y 10, y para los cuales es positivo, respectivamente.