1. Problema: Rezolvă exercițiul $x * y = -xy + x + 2y + 3$ folosind legea de compoziție asociativă. 2. Definim operația $*$ astfel: pentru orice $x, y$, avem $$x * y = -xy + x + 2y + 3.$$ 3. Verificăm asociativitatea: trebuie să arătăm că pentru orice $x, y, z$, $$(x * y) * z = x * (y * z).$$ 4. Calculăm mai întâi $(x * y)$: $$x * y = -xy + x + 2y + 3.$$ 5. Calculăm apoi $(x * y) * z$: Înlocuim $x * y$ cu expresia de la pasul 4: $$(x * y) * z = (-xy + x + 2y + 3) * z = -(-xy + x + 2y + 3)z + (-xy + x + 2y + 3) + 2z + 3.$$ 6. Dezvoltăm expresia: $$= (xy - x - 2y - 3)z - xy + x + 2y + 3 + 2z + 3 = xyz - xz - 2yz - 3z - xy + x + 2y + 3 + 2z + 3.$$ 7. Simplificăm termenii: $$xyz - xz - 2yz - 3z + 2z - xy + x + 2y + 3 + 3 = xyz - xz - 2yz - z - xy + x + 2y + 6.$$ 8. Calculăm acum $y * z$: $$y * z = -yz + y + 2z + 3.$$ 9. Calculăm $x * (y * z)$: $$x * (y * z) = x * (-yz + y + 2z + 3) = -x(-yz + y + 2z + 3) + x + 2(-yz + y + 2z + 3) + 3.$$ 10. Dezvoltăm expresia: $$= xyz - xy - 2xz - 3x + x - 2yz + 2y + 4z + 6 + 3 = xyz - xy - 2xz - 2yz - 2x + 2y + 4z + 9.$$ 11. Comparăm expresiile din pașii 7 și 10: $$(x * y) * z = xyz - xz - 2yz - z - xy + x + 2y + 6,$$ $$x * (y * z) = xyz - xy - 2xz - 2yz - 2x + 2y + 4z + 9.$$ 12. Observăm că ele nu sunt egale pentru orice $x, y, z$, deci operația $*$ nu este asociativă. Răspuns final: Operația definită prin $x * y = -xy + x + 2y + 3$ nu respectă legea de compoziție asociativă.