Question: Koordinačių plokštumoje OXY pažymėkite taškus A($-2$; $-4$), B($6$; $4$), C($-5$; $1$) ir D($4$; $-2$).
Užrašykite koordinates taško, kuriame:
a) susikerta atkarpos AB ir CD;
b) atkarpa AB kerta ordinacių ašį;
c) atkarpa CD kerta abscisių ašį.
1. **Problemos aprašymas:**
Turime taškus A($-2$, $-4$), B($6$, $4$), C($-5$, $1$) ir D($4$, $-2$) koordinačių plokštumoje OXY.
Reikia rasti:
a) tašką, kuriame susikerta atkarpos AB ir CD;
b) tašką, kuriame atkarpa AB kerta ordinacių ašį (OY);
c) tašką, kuriame atkarpa CD kerta abscisių ašį (OX).
2. **Formulės ir taisyklės:**
Atkarpos lygtis tarp dviejų taškų $P_1(x_1,y_1)$ ir $P_2(x_2,y_2)$ yra:
$$y = y_1 + \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1)$$
Taip pat, norint rasti sankirtos tašką tarp dviejų atkarpų, reikia išspręsti lygtis, kurios aprašo tieses, ir patikrinti, ar sankirtos taškas priklauso abiem atkarpoms.
3. **Atkarpos AB lygtis:**
Taškai A($-2$, $-4$), B($6$, $4$)
Nuolydis:
$$m_{AB} = \frac{4 - (-4)}{6 - (-2)} = \frac{8}{8} = 1$$
Lygtis:
$$y = -4 + 1(x + 2) = x - 2$$
4. **Atkarpos CD lygtis:**
Taškai C($-5$, $1$), D($4$, $-2$)
Nuolydis:
$$m_{CD} = \frac{-2 - 1}{4 - (-5)} = \frac{-3}{9} = -\frac{1}{3}$$
Lygtis:
$$y = 1 - \frac{1}{3}(x + 5) = 1 - \frac{1}{3}x - \frac{5}{3} = -\frac{1}{3}x - \frac{2}{3}$$
5. **a) Sankirtos taško tarp AB ir CD radimas:**
Lygtis AB: $$y = x - 2$$
Lygtis CD: $$y = -\frac{1}{3}x - \frac{2}{3}$$
Lygių sistema:
$$x - 2 = -\frac{1}{3}x - \frac{2}{3}$$
Perkeliam viską į vieną pusę:
$$x + \frac{1}{3}x = -\frac{2}{3} + 2$$
$$\frac{4}{3}x = \frac{4}{3}$$
Daliname abi puses iš $\frac{4}{3}$:
$$x = \frac{\cancel{\frac{4}{3}}}{\cancel{\frac{4}{3}}} = 1$$
Įstatome $x=1$ į AB lygtį:
$$y = 1 - 2 = -1$$
Sankirtos taškas yra $$(1, -1)$$.
Patikriname, ar taškas priklauso atkarpoms:
- Atkarpos AB $x$ intervalas: $[-2,6]$, $1$ priklauso.
- Atkarpos CD $x$ intervalas: $[-5,4]$, $1$ priklauso.
Taigi, sankirtos taškas yra $$(1, -1)$$.
6. **b) Atkarpos AB kirtis su ordinacių ašimi (OY):**
Ordinacių ašis yra $x=0$.
Įstatome $x=0$ į AB lygtį:
$$y = 0 - 2 = -2$$
Taškas yra $$(0, -2)$$.
7. **c) Atkarpos CD kirtis su abscisių ašimi (OX):**
Abscisių ašis yra $y=0$.
Iš CD lygties:
$$0 = -\frac{1}{3}x - \frac{2}{3}$$
Perkeliam:
$$\frac{1}{3}x = -\frac{2}{3}$$
Dauginame abi puses iš 3:
$$x = -2$$
Taškas yra $(-2, 0)$.
Patikriname, ar taškas priklauso atkarpai CD:
$x = -2$ priklauso intervalui $[-5,4]$.
**Galutiniai atsakymai:**
a) Sankirtos taškas: $$(1, -1)$$
b) Atkarpos AB kirtis su ordinacių ašimi: $$(0, -2)$$
c) Atkarpos CD kirtis su abscisių ašimi: $$(-2, 0)$$