1. **Problemstellung:** Wir sollen eine Ausgleichsgerade (lineare Regression) für die Punkte $A(5, 1{,}0197)$, $B(10, 1{,}0261)$, $C(12{,}5, 1{,}0484)$ und $D(15, 1{,}0586)$ berechnen. 2. **Formel:** Die Ausgleichsgerade hat die Form $$y = mx + b$$ wobei $m$ die Steigung und $b$ der Achsenabschnitt ist. 3. **Berechnung der Steigung $m$:** $$m = \frac{n \sum xy - \sum x \sum y}{n \sum x^2 - (\sum x)^2}$$ 4. **Berechnung des Achsenabschnitts $b$:** $$b = \frac{\sum y - m \sum x}{n}$$ 5. **Daten zusammenfassen:** \begin{align*} n &= 4 \\ \sum x &= 5 + 10 + 12{,}5 + 15 = 42{,}5 \\ \sum y &= 1{,}0197 + 1{,}0261 + 1{,}0484 + 1{,}0586 = 4{,}1528 \\ \sum x^2 &= 5^2 + 10^2 + 12{,}5^2 + 15^2 = 25 + 100 + 156{,}25 + 225 = 506{,}25 \\ \sum xy &= 5 \cdot 1{,}0197 + 10 \cdot 1{,}0261 + 12{,}5 \cdot 1{,}0484 + 15 \cdot 1{,}0586 \\ &= 5{,}0985 + 10{,}261 + 13{,}105 + 15{,}879 = 44{,}3435 \end{align*} 6. **Steigung $m$ berechnen:** $$m = \frac{4 \cdot 44{,}3435 - 42{,}5 \cdot 4{,}1528}{4 \cdot 506{,}25 - (42{,}5)^2} = \frac{177{,}374 - 176{,}934}{2025 - 1806{,}25} = \frac{0{,}44}{218{,}75}$$ 7. **Zwischenschritt mit Kürzung:** $$m = \frac{\cancel{0{,}44}}{\cancel{218{,}75}} = 0{,}0020114$$ 8. **Achsenabschnitt $b$ berechnen:** $$b = \frac{4{,}1528 - 0{,}0020114 \cdot 42{,}5}{4} = \frac{4{,}1528 - 0{,}0855}{4} = \frac{4{,}0673}{4}$$ 9. **Zwischenschritt mit Kürzung:** $$b = \frac{\cancel{4{,}0673}}{\cancel{4}} = 1{,}0168$$ 10. **Ergebnis:** Die Ausgleichsgerade lautet: $$y = 0{,}0020114 x + 1{,}0168$$ Diese Gerade beschreibt die beste lineare Anpassung der gegebenen Punkte.