Banyak Solusi Batasan Cfc980

1. Diberikan persamaan $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 20$ dengan batasan bilangan bulat: $1 \leq x_1 \leq 6$, $1 \leq x_2 \leq 7$, $3 \leq x_3 \leq 9$, dan $4 \leq x_4 \leq 11$. 2. Kita ubah variabel agar batas bawah menjadi nol dengan substitusi: $$y_1 = x_1 - 1, \quad y_2 = x_2 - 1, \quad y_3 = x_3 - 3, \quad y_4 = x_4 - 4$$ Sehingga batas baru adalah: $$0 \leq y_1 \leq 5, \quad 0 \leq y_2 \leq 6, \quad 0 \leq y_3 \leq 6, \quad 0 \leq y_4 \leq 7$$ 3. Persamaan menjadi: $$y_1 + y_2 + y_3 + y_4 = 20 - (1+1+3+4) = 20 - 9 = 11$$ 4. Kita ingin menghitung banyak solusi bilangan bulat non-negatif dari: $$y_1 + y_2 + y_3 + y_4 = 11$$ Dengan batasan atas $y_1 \leq 5$, $y_2 \leq 6$, $y_3 \leq 6$, $y_4 \leq 7$. 5. Gunakan prinsip inklusi-eksklusi untuk menghitung jumlah solusi dengan batasan atas: Definisikan himpunan: $$A_1 = \{y_1 > 5\}, A_2 = \{y_2 > 6\}, A_3 = \{y_3 > 6\}, A_4 = \{y_4 > 7\}$$ 6. Jumlah solusi tanpa batasan atas adalah: $$\binom{11+4-1}{4-1} = \binom{14}{3} = 364$$ 7. Hitung jumlah solusi di setiap $A_i$ dengan substitusi $z_i = y_i - (batas atas + 1)$: - Untuk $A_1$: $y_1 \geq 6$ maka $z_1 = y_1 - 6 \geq 0$, persamaan menjadi: $$z_1 + y_2 + y_3 + y_4 = 11 - 6 = 5$$ Jumlah solusi: $$\binom{5+4-1}{3} = \binom{8}{3} = 56$$ - Untuk $A_2$: $y_2 \geq 7$, $z_2 = y_2 - 7 \geq 0$: $$y_1 + z_2 + y_3 + y_4 = 11 - 7 = 4$$ Jumlah solusi: $$\binom{4+4-1}{3} = \binom{7}{3} = 35$$ - Untuk $A_3$: $y_3 \geq 7$, $z_3 = y_3 - 7 \geq 0$: $$y_1 + y_2 + z_3 + y_4 = 4$$ Jumlah solusi: $$\binom{7}{3} = 35$$ - Untuk $A_4$: $y_4 \geq 8$, $z_4 = y_4 - 8 \geq 0$: $$y_1 + y_2 + y_3 + z_4 = 3$$ Jumlah solusi: $$\binom{6}{3} = 20$$ 8. Hitung jumlah solusi di irisan dua himpunan $A_i \cap A_j$: - $A_1 \cap A_2$: $z_1 = y_1 - 6 \geq 0$, $z_2 = y_2 - 7 \geq 0$: $$z_1 + z_2 + y_3 + y_4 = 11 - 6 - 7 = -2$$ Tidak ada solusi karena jumlah negatif. - $A_1 \cap A_3$: $z_1 = y_1 - 6$, $z_3 = y_3 - 7$: $$z_1 + y_2 + z_3 + y_4 = 11 - 6 - 7 = -2$$ Tidak ada solusi. - $A_1 \cap A_4$: $z_1 = y_1 - 6$, $z_4 = y_4 - 8$: $$z_1 + y_2 + y_3 + z_4 = 11 - 6 - 8 = -3$$ Tidak ada solusi. - $A_2 \cap A_3$: $z_2 = y_2 - 7$, $z_3 = y_3 - 7$: $$y_1 + z_2 + z_3 + y_4 = 11 - 7 - 7 = -3$$ Tidak ada solusi. - $A_2 \cap A_4$: $z_2 = y_2 - 7$, $z_4 = y_4 - 8$: $$y_1 + z_2 + y_3 + z_4 = 11 - 7 - 8 = -4$$ Tidak ada solusi. - $A_3 \cap A_4$: $z_3 = y_3 - 7$, $z_4 = y_4 - 8$: $$y_1 + y_2 + z_3 + z_4 = 11 - 7 - 8 = -4$$ Tidak ada solusi. 9. Karena tidak ada solusi untuk irisan dua himpunan atau lebih, prinsip inklusi-eksklusi menjadi: $$\text{Jumlah solusi} = 364 - (56 + 35 + 35 + 20) = 364 - 146 = 218$$ 10. Jadi, banyak solusi bilangan bulat yang memenuhi batasan adalah **218**.