1. **Énoncé du problème :** Montrer que les vecteurs $a = (1, -2, 0)$, $b = (-1, 2, -3)$ et $e = (-2, 2, -1)$ forment une base de $\mathbb{R}^3$. 2. **Formule et règles importantes :** Pour montrer qu'un ensemble de vecteurs forme une base de $\mathbb{R}^3$, il faut vérifier qu'ils sont linéairement indépendants et qu'ils engendrent $\mathbb{R}^3$. Cela revient à vérifier que le déterminant de la matrice formée par ces vecteurs en colonnes est non nul. 3. **Calcul du déterminant :** On forme la matrice $M = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -2 \\ -2 & 2 & 2 \\ 0 & -3 & -1 \end{pmatrix}$. Calculons $\det(M)$ : $$\det(M) = 1 \times \begin{vmatrix} 2 & 2 \\ -3 & -1 \end{vmatrix} - (-1) \times \begin{vmatrix} -2 & 2 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} + (-2) \times \begin{vmatrix} -2 & 2 \\ 0 & -3 \end{vmatrix}$$ Calcul des mineurs : $$\begin{vmatrix} 2 & 2 \\ -3 & -1 \end{vmatrix} = 2 \times (-1) - 2 \times (-3) = -2 + 6 = 4$$ $$\begin{vmatrix} -2 & 2 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = -2 \times (-1) - 2 \times 0 = 2$$ $$\begin{vmatrix} -2 & 2 \\ 0 & -3 \end{vmatrix} = -2 \times (-3) - 2 \times 0 = 6$$ Donc : $$\det(M) = 1 \times 4 - (-1) \times 2 + (-2) \times 6 = 4 + 2 - 12 = -6$$ 4. **Conclusion sur la base :** Le déterminant est $-6 \neq 0$, donc les vecteurs $a$, $b$ et $e$ sont linéairement indépendants et forment une base de $\mathbb{R}^3$. 5. **Deuxième problème : décomposition du vecteur $E = (-3, -4, 4)$ dans la base $\{a, b, e\}$.** On cherche des scalaires $x, y, z$ tels que : $$x a + y b + z e = E$$ Ce qui donne le système : $$x (1, -2, 0) + y (-1, 2, -3) + z (-2, 2, -1) = (-3, -4, 4)$$ Soit : $$\begin{cases} x - y - 2z = -3 \\ -2x + 2y + 2z = -4 \\ 0x - 3y - z = 4 \end{cases}$$ 6. **Résolution du système :** De la troisième équation : $$-3y - z = 4 \Rightarrow z = -3y - 4$$ Substituons $z$ dans la première équation : $$x - y - 2(-3y - 4) = -3$$ $$x - y + 6y + 8 = -3$$ $$x + 5y = -11$$ Substituons $z$ dans la deuxième équation : $$-2x + 2y + 2(-3y - 4) = -4$$ $$-2x + 2y - 6y - 8 = -4$$ $$-2x - 4y = 4$$ Divisons par $-2$ : $$\cancel{-2}x + \cancel{-4}y = \cancel{4} \Rightarrow x + 2y = -2$$ 7. **Système réduit :** $$\begin{cases} x + 5y = -11 \\ x + 2y = -2 \end{cases}$$ Soustrayons la deuxième de la première : $$(x + 5y) - (x + 2y) = -11 - (-2)$$ $$3y = -9 \Rightarrow y = -3$$ 8. **Calcul de $x$ :** $$x + 2(-3) = -2 \Rightarrow x - 6 = -2 \Rightarrow x = 4$$ 9. **Calcul de $z$ :** $$z = -3y - 4 = -3(-3) - 4 = 9 - 4 = 5$$ 10. **Conclusion :** La décomposition de $E$ dans la base $\{a, b, e\}$ est : $$E = 4a - 3b + 5e$$