1. Planteamiento del problema: Determinar si los subconjuntos dados forman una base para $\mathbb{R}^3$ y expresar el vector $\begin{bmatrix}5 \\ -1 \\ 3\end{bmatrix}$ como combinación lineal de los vectores en cada subconjunto que sea base. 2. Regla para base: Un conjunto de vectores forma una base de $\mathbb{R}^3$ si y solo si son linealmente independientes y generan todo $\mathbb{R}^3$. Esto ocurre si el conjunto tiene 3 vectores linealmente independientes. 3. Análisis del subconjunto a): Tiene 4 vectores en $\mathbb{R}^3$, pero para base en $\mathbb{R}^3$ solo se necesitan 3 vectores linealmente independientes. Por lo tanto, primero verificamos si son linealmente independientes. 4. Formamos la matriz con los vectores de a) como columnas: $$A = \begin{bmatrix}2 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 5 \\ 3 & 1 & 4 & 1\end{bmatrix}$$ 5. Calculamos el rango de $A$. Si el rango es 3, los vectores son linealmente independientes y forman un sistema generador, pero como hay 4 vectores, no pueden ser base (demasiados vectores). 6. Observamos que hay 4 vectores en $\mathbb{R}^3$, por lo que son linealmente dependientes. Por ende, el subconjunto a) no es base. 7. Análisis del subconjunto b): Tiene 3 vectores en $\mathbb{R}^3$. Formamos la matriz: $$B = \begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & 4 \\ 2 & 1 & -1\end{bmatrix}$$ 8. Calculamos el determinante de $B$ para verificar independencia: $$\det(B) = 1 \cdot (0 \cdot (-1) - 4 \cdot 1) - 2 \cdot (1 \cdot (-1) - 4 \cdot 2) + 3 \cdot (1 \cdot 1 - 0 \cdot 2)$$ $$= 1 \cdot (0 - 4) - 2 \cdot (-1 - 8) + 3 \cdot (1 - 0)$$ $$= -4 - 2 \cdot (-9) + 3 = -4 + 18 + 3 = 17$$ 9. Como $\det(B) \neq 0$, los vectores de b) son linealmente independientes y forman una base de $\mathbb{R}^3$. 10. Expresar $\begin{bmatrix}5 \\ -1 \\ 3\end{bmatrix}$ como combinación lineal de los vectores de b): $$c_1 \begin{bmatrix}1 \\ 1 \\ 2\end{bmatrix} + c_2 \begin{bmatrix}2 \\ 0 \\ 1\end{bmatrix} + c_3 \begin{bmatrix}3 \\ 4 \\ -1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}5 \\ -1 \\ 3\end{bmatrix}$$ 11. Esto da el sistema: $$\begin{cases} c_1 + 2 c_2 + 3 c_3 = 5 \\ c_1 + 0 c_2 + 4 c_3 = -1 \\ 2 c_1 + c_2 - c_3 = 3 \end{cases}$$ 12. Restamos la segunda ecuación de la primera para eliminar $c_1$: $$\cancel{c_1} + 2 c_2 + 3 c_3 = 5$$ $$- (\cancel{c_1} + 0 c_2 + 4 c_3 = -1)$$ $$\Rightarrow 2 c_2 - c_3 = 6$$ 13. Usamos la segunda ecuación para despejar $c_1$: $$c_1 = -1 - 4 c_3$$ 14. La tercera ecuación: $$2 c_1 + c_2 - c_3 = 3$$ Sustituimos $c_1$: $$2(-1 - 4 c_3) + c_2 - c_3 = 3$$ $$-2 - 8 c_3 + c_2 - c_3 = 3$$ $$c_2 - 9 c_3 = 5$$ 15. Tenemos el sistema: $$\begin{cases} 2 c_2 - c_3 = 6 \\ c_2 - 9 c_3 = 5 \end{cases}$$ 16. Multiplicamos la segunda ecuación por 2 y restamos la primera: $$2 c_2 - 18 c_3 = 10$$ $$- (2 c_2 - c_3 = 6)$$ $$\Rightarrow -17 c_3 = 4 \Rightarrow c_3 = -\frac{4}{17}$$ 17. Sustituimos $c_3$ en $c_2 - 9 c_3 = 5$: $$c_2 - 9 \left(-\frac{4}{17}\right) = 5$$ $$c_2 + \frac{36}{17} = 5$$ $$c_2 = 5 - \frac{36}{17} = \frac{85}{17} - \frac{36}{17} = \frac{49}{17}$$ 18. Finalmente, $c_1 = -1 - 4 c_3 = -1 - 4 \left(-\frac{4}{17}\right) = -1 + \frac{16}{17} = -\frac{1}{17}$ 19. Por lo tanto, $$\begin{bmatrix}5 \\ -1 \\ 3\end{bmatrix} = -\frac{1}{17} \begin{bmatrix}1 \\ 1 \\ 2\end{bmatrix} + \frac{49}{17} \begin{bmatrix}2 \\ 0 \\ 1\end{bmatrix} - \frac{4}{17} \begin{bmatrix}3 \\ 4 \\ -1\end{bmatrix}$$ 20. Resumen: - El subconjunto a) no es base porque tiene 4 vectores en $\mathbb{R}^3$ y son linealmente dependientes. - El subconjunto b) es base porque sus 3 vectores son linealmente independientes. - El vector dado se puede expresar como combinación lineal de los vectores de b) con los coeficientes calculados.