1. **Énoncé du problème :** Déterminer des bases et les dimensions des sous-espaces vectoriels $E_1$, $E_2$, et $E_1 \cap E_2$ dans $\mathbb{R}^3$ où: $$E_1 = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \mid x = 2y\}$$ $$E_2 = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \mid y = x - z\}$$ Puis, vérifier si la somme $E_1 \oplus E_2$ est directe. 2. **Formules et règles importantes :** - La dimension d'un sous-espace vectoriel est le nombre de vecteurs dans une base. - La somme $E_1 + E_2$ est directe si et seulement si $E_1 \cap E_2 = \{\mathbf{0}\}$. 3. **Détermination de $E_1$ :** - Condition: $x = 2y$. - Un vecteur $(x,y,z) \in E_1$ s'écrit donc $(2y, y, z)$. - Paramétrisation avec $y$ et $z$ libres: $$ (x,y,z) = y(2,1,0) + z(0,0,1) $$ - Base de $E_1$ : $\{(2,1,0), (0,0,1)\}$ - Dimension de $E_1$ : $2$. 4. **Détermination de $E_2$ :** - Condition: $y = x - z$. - Un vecteur $(x,y,z) \in E_2$ s'écrit donc $(x, x - z, z)$. - Paramétrisation avec $x$ et $z$ libres: $$ (x,y,z) = x(1,1,0) + z(0,-1,1) $$ - Base de $E_2$ : $\{(1,1,0), (0,-1,1)\}$ - Dimension de $E_2$ : $2$. 5. **Détermination de $E_1 \cap E_2$ :** - Un vecteur $(x,y,z)$ appartient à $E_1 \cap E_2$ s'il satisfait simultanément: $$ x = 2y \quad \text{et} \quad y = x - z $$ - Remplaçons $x$ par $2y$ dans la deuxième équation: $$ y = 2y - z \implies z = 2y - y = y $$ - Donc $z = y$ et $x = 2y$. - Un vecteur dans $E_1 \cap E_2$ est donc: $$ (x,y,z) = (2y, y, y) = y(2,1,1) $$ - Base de $E_1 \cap E_2$ : $\{(2,1,1)\}$ - Dimension de $E_1 \cap E_2$ : $1$. 6. **Vérification si la somme est directe :** - La somme est directe si $E_1 \cap E_2 = \{\mathbf{0}\}$. - Ici, $\dim(E_1 \cap E_2) = 1 \neq 0$, donc la somme n'est pas directe. **Réponses finales :** - Base de $E_1$ : $\{(2,1,0), (0,0,1)\}$, dimension $2$. - Base de $E_2$ : $\{(1,1,0), (0,-1,1)\}$, dimension $2$. - Base de $E_1 \cap E_2$ : $\{(2,1,1)\}$, dimension $1$. - La somme $E_1 + E_2$ n'est pas directe.