1. **Énoncé du problème** : Déterminer des bases et les dimensions des sous-espaces vectoriels $E_1$, $E_2$, $E_1 \cap E_2$ et $E_1 + E_2$ dans $\mathbb{R}^3$ où : $$E_1 = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \mid x = 2y\}$$ $$E_2 = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \mid y = x - z\}$$ 2. **Sous-espace $E_1$** : La condition $x=2y$ implique que tout vecteur de $E_1$ s'écrit $$ (x,y,z) = (2y, y, z) = y(2,1,0) + z(0,0,1) $$ Donc une base de $E_1$ est $$ \{(2,1,0), (0,0,1)\} $$ La dimension de $E_1$ est donc $2$. 3. **Sous-espace $E_2$** : La condition $y = x - z$ implique $$ (x,y,z) = (x, x - z, z) = x(1,1,0) + z(0,-1,1) $$ Une base de $E_2$ est $$ \{(1,1,0), (0,-1,1)\} $$ La dimension de $E_2$ est aussi $2$. 4. **Intersection $E_1 \cap E_2$** : Un vecteur $(x,y,z)$ appartient à $E_1 \cap E_2$ s'il vérifie simultanément $$ x = 2y \quad \text{et} \quad y = x - z $$ Remplaçons $x$ par $2y$ dans la deuxième équation : $$ y = 2y - z \Rightarrow z = 2y - y = y $$ Donc $$ x = 2y, \quad z = y $$ Un vecteur de $E_1 \cap E_2$ s'écrit donc $$ (x,y,z) = (2y, y, y) = y(2,1,1) $$ Une base de $E_1 \cap E_2$ est $$ \{(2,1,1)\} $$ La dimension de $E_1 \cap E_2$ est $1$. 5. **Somme $E_1 + E_2$** : La dimension de la somme est donnée par la formule $$ \dim(E_1 + E_2) = \dim(E_1) + \dim(E_2) - \dim(E_1 \cap E_2) $$ Donc $$ \dim(E_1 + E_2) = 2 + 2 - 1 = 3 $$ Comme $E_1 + E_2$ est un sous-espace de $\mathbb{R}^3$ de dimension $3$, on a $$ E_1 + E_2 = \mathbb{R}^3 $$ **Résumé final :** - Base de $E_1$ : $\{(2,1,0), (0,0,1)\}$, dimension $2$ - Base de $E_2$ : $\{(1,1,0), (0,-1,1)\}$, dimension $2$ - Base de $E_1 \cap E_2$ : $\{(2,1,1)\}$, dimension $1$ - Dimension de $E_1 + E_2$ : $3$ (tout $\mathbb{R}^3$)