1. **Problem statement:** Vervollständigen Sie die Tabelle für ganzrationale Funktionen 3. und 4. Grades. 2. **Allgemeine Funktionsgleichung:** Für Grad 3: $$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$$ Für Grad 4: $$f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e$$ 3. **Funktionswerte an bestimmten Stellen:** Für Grad 3: $$f(0) = d$$ $$f(-1) = a(-1)^3 + b(-1)^2 + c(-1) + d = -a + b - c + d$$ Für Grad 4: $$f(0) = e$$ $$f(-1) = a(-1)^4 + b(-1)^3 + c(-1)^2 + d(-1) + e = a - b + c - d + e$$ 4. **Ableitungen:** Für Grad 3: $$f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$$ $$f''(x) = 6ax + 2b$$ $$f'''(x) = 6a$$ Für Grad 4: $$f'(x) = 4ax^3 + 3bx^2 + 2cx + d$$ $$f''(x) = 12ax^2 + 6bx + 2c$$ $$f'''(x) = 24ax + 6b$$ --- 2. **Anzahl Gleichungen für Bestimmung einer ganzrationalen Funktion n-ten Grades:** Man benötigt $$n + 1$$ Gleichungen, da eine Polynomfunktion n-ten Grades $$n + 1$$ Koeffizienten hat. --- 3. **Lineares Gleichungssystem für Funktion 3. Grades mit gegebenen Eigenschaften:** ① Allgemeine Form und Ableitungen: $$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$$ $$f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$$ $$f''(x) = 6ax + 2b$$ ② Bedingungen: - Nullstelle bei $$x_N = -1$$: $$f(-1) = 0 \\ -a + b - c + d = 0$$ - Hochpunkt bei $$H(1|4)$$: $$f(1) = 4 \\ a + b + c + d = 4$$ - Hochpunkt bedeutet $$f'(1) = 0$$: $$3a + 2b + c = 0$$ - Wendestelle bei $$x_W = 3$$: $$f''(3) = 0 \\ 18a + 2b = 0$$ --- 4. **Zusatzaufgabe:** a) Überprüfung der Funktion $$f(x) = x^3 - \frac{1}{8}x^2 + \frac{15}{8}x + \frac{25}{8}$$ - Prüfen, ob $$f(-1) = 0$$, $$f(1) = 4$$, $$f'(1) = 0$$, $$f''(3) = 0$$. b) Lösen des LGS: Aus $$18a + 2b = 0$$ folgt $$b = -9a$$. Setze in $$3a + 2b + c = 0$$ ein: $$3a + 2(-9a) + c = 0 \\ 3a - 18a + c = 0 \\ -15a + c = 0 \\ c = 15a$$ Setze in $$-a + b - c + d = 0$$ ein: $$-a + (-9a) - 15a + d = 0 \\ -25a + d = 0 \\ d = 25a$$ Setze in $$a + b + c + d = 4$$ ein: $$a - 9a + 15a + 25a = 4 \\ 32a = 4 \\ a = \frac{1}{8}$$ Dann: $$b = -9 \times \frac{1}{8} = -\frac{9}{8}$$ $$c = 15 \times \frac{1}{8} = \frac{15}{8}$$ $$d = 25 \times \frac{1}{8} = \frac{25}{8}$$ Gesuchte Funktion: $$f(x) = \frac{1}{8}x^3 - \frac{9}{8}x^2 + \frac{15}{8}x + \frac{25}{8}$$ --- 5. **Graphanalyse (Aufgabe 4):** a) Da der Graph mindestens einen Sattelpunkt (Wendestelle mit waagrechter Tangente) und einen Hochpunkt besitzt, muss die Funktion mindestens 4. Grades sein. b) Koordinaten ablesen (angenommen Hochpunkt bei etwa (2.1, 2.0), Sattelpunkt bei (0,0)) und lineares Gleichungssystem mit allgemeiner Form Grad 4 aufstellen: $$f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e$$ $$f'(x) = 4ax^3 + 3bx^2 + 2cx + d$$ $$f''(x) = 12ax^2 + 6bx + 2c$$ Bedingungen: - Hochpunkt bei (2.1, 2.0): $$f(2.1) = 2.0$$ und $$f'(2.1) = 0$$ - Sattelpunkt bei (0,0): $$f(0) = 0$$, $$f'(0) = 0$$, $$f''(0) = 0$$ Diese 5 Gleichungen können verwendet werden, um die 5 Koeffizienten $$a,b,c,d,e$$ zu bestimmen.