1. **Énoncé du problème :** Nous avons une fonction de bénéfice $f(x) = -2x^2 + 12x - 10$ où $x$ représente le nombre de coques produites en centaines. 2. **Calculer l'image de 0 et de 2 par la fonction $f$ :** - Pour $x=0$ : $$f(0) = -2 \times 0^2 + 12 \times 0 - 10 = -10$$ - Pour $x=2$ : $$f(2) = -2 \times 2^2 + 12 \times 2 - 10 = -2 \times 4 + 24 - 10 = -8 + 24 - 10 = 6$$ 3. **Montrer que $(-2x + 2)(x - 5) = -2x^2 + 12x - 10$ :** Développons le produit : $$(-2x + 2)(x - 5) = -2x \times x + (-2x) \times (-5) + 2 \times x + 2 \times (-5)$$ $$= -2x^2 + 10x + 2x - 10 = -2x^2 + 12x - 10$$ 4. **Montrer que 1 et 5 sont racines de $f$ :** - Calcul de $f(1)$ : $$f(1) = -2 \times 1^2 + 12 \times 1 - 10 = -2 + 12 - 10 = 0$$ - Calcul de $f(5)$ : $$f(5) = -2 \times 5^2 + 12 \times 5 - 10 = -2 \times 25 + 60 - 10 = -50 + 60 - 10 = 0$$ Donc, $x=1$ et $x=5$ sont bien des racines de $f$. 5. **Déterminer les coordonnées du sommet de la parabole :** La fonction est de la forme $f(x) = ax^2 + bx + c$ avec $a = -2$, $b = 12$, $c = -10$. Le sommet a pour abscisse : $$x_s = -\frac{b}{2a} = -\frac{12}{2 \times (-2)} = -\frac{12}{-4} = 3$$ Calculons l'ordonnée : $$f(3) = -2 \times 3^2 + 12 \times 3 - 10 = -2 \times 9 + 36 - 10 = -18 + 36 - 10 = 8$$ Donc, le sommet est en $(3, 8)$. **Interprétation :** Le bénéfice maximal est de 8 (centaines d'euros) lorsque l'entreprise produit 300 coques. 6. **Schéma de la courbe :** La parabole est orientée vers le bas (car $a = -2 < 0$), coupe l'axe des abscisses en $x=1$ et $x=5$, et atteint un maximum au sommet $(3,8)$. **Réponse finale :** - $f(0) = -10$ - $f(2) = 6$ - $(-2x + 2)(x - 5) = -2x^2 + 12x - 10$ - Racines : $x=1$ et $x=5$ - Sommet : $(3,8)$ avec bénéfice maximal de 8 centaines d'euros