1. **Énoncé du problème :** Une entreprise vend des poutres métalliques à 2,3 milliers d'euros la tonne. Le coût de production en milliers d'euros est donné par la fonction $$C(x) = 0,4x^2 - 4,1x + 0,8$$ où $x$ est le tonnage produit (en tonnes). 2. **Recette $R(x)$ :** La recette est le prix de vente multiplié par la quantité vendue : $$R(x) = 2,3x$$ 3. **Bénéfice $B(x)$ :** Le bénéfice est la recette moins le coût : $$B(x) = R(x) - C(x) = 2,3x - (0,4x^2 - 4,1x + 0,8)$$ 4. **Simplification de $B(x)$ :** $$B(x) = 2,3x - 0,4x^2 + 4,1x - 0,8$$ $$B(x) = -0,4x^2 + (2,3x + 4,1x) - 0,8$$ $$B(x) = -0,4x^2 + 6,4x - 0,8$$ 5. **Tableau de valeurs de $B(x)$ :** Calculons $B(x)$ pour les valeurs données : - $B(0) = -0,4(0)^2 + 6,4(0) - 0,8 = -0,8$ - $B(0,5) = -0,4(0,5)^2 + 6,4(0,5) - 0,8 = -0,4(0,25) + 3,2 - 0,8 = -0,1 + 3,2 - 0,8 = 2,3$ - $B(1) = -0,4(1)^2 + 6,4(1) - 0,8 = -0,4 + 6,4 - 0,8 = 5,2$ - $B(2) = -0,4(4) + 12,8 - 0,8 = -1,6 + 12,8 - 0,8 = 10,4$ - $B(4) = -0,4(16) + 25,6 - 0,8 = -6,4 + 25,6 - 0,8 = 18,4$ - $B(6) = -0,4(36) + 38,4 - 0,8 = -14,4 + 38,4 - 0,8 = 23,2$ - $B(8) = -0,4(64) + 51,2 - 0,8 = -25,6 + 51,2 - 0,8 = 24,8$ - $B(10) = -0,4(100) + 64 - 0,8 = -40 + 64 - 0,8 = 23,2$ - $B(12) = -0,4(144) + 76,8 - 0,8 = -57,6 + 76,8 - 0,8 = 18,4$ - $B(14) = -0,4(196) + 89,6 - 0,8 = -78,4 + 89,6 - 0,8 = 10,4$ - $B(15) = -0,4(225) + 96 - 0,8 = -90 + 96 - 0,8 = 5,2$ - $B(15,5) = -0,4(240,25) + 99,2 - 0,8 = -96,1 + 99,2 - 0,8 = 2,3$ - $B(16) = -0,4(256) + 102,4 - 0,8 = -102,4 + 102,4 - 0,8 = -0,8$ 6. **Lecture graphique :** - Le bénéfice est positif lorsque $B(x) > 0$. D'après les calculs, cela se produit entre environ $x=0,1$ et $x=15,9$. 7. **Tableau de variation de $B$ sur $[0;16]$ :** - $B$ croît de 0 à 8 (car $B(8)$ est maximum) - $B$ décroît de 8 à 16 8. **Bénéfice maximal :** - Le sommet de la parabole $B(x) = -0,4x^2 + 6,4x - 0,8$ est en $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{6,4}{2 \times (-0,4)} = 8$ - Le bénéfice maximal est $B(8) = 24,8$ milliers d'euros. Finalement, la recette est $R(x) = 2,3x$, le bénéfice est $B(x) = -0,4x^2 + 6,4x - 0,8$, le bénéfice est positif entre environ $0,1$ et $15,9$ tonnes, et le bénéfice maximal de $24,8$ milliers d'euros est atteint pour une production de 8 tonnes.