1. **Énoncé du problème :** Une entreprise fabrique des poutres métalliques vendues 2,3 milliers d'euros la tonne. Le coût de production en milliers d'euros est donné par $$C(x) = 0,4x^2 - 4,1x + 0,8$$ où $x$ est le tonnage produit ($x \geq 0$). 2. **Recette $R(x)$ en fonction de $x$ :** La recette est le prix de vente multiplié par la quantité vendue : $$R(x) = 2,3x$$ 3. **Bénéfice $B(x)$ :** Le bénéfice est la recette moins le coût : $$B(x) = R(x) - C(x) = 2,3x - (0,4x^2 - 4,1x + 0,8)$$ 4. **Calcul de $B(x)$ :** $$B(x) = 2,3x - 0,4x^2 + 4,1x - 0,8 = -0,4x^2 + (2,3x + 4,1x) - 0,8 = -0,4x^2 + 6,4x - 0,8$$ 5. **Tableau de valeurs de $B(x)$ :** Calculons $B(x)$ pour les valeurs données : - $B(0) = -0,4\times0^2 + 6,4\times0 - 0,8 = -0,8$ - $B(0,5) = -0,4\times0,5^2 + 6,4\times0,5 - 0,8 = -0,4\times0,25 + 3,2 - 0,8 = -0,1 + 3,2 - 0,8 = 2,3$ - $B(1) = -0,4\times1 + 6,4\times1 - 0,8 = -0,4 + 6,4 - 0,8 = 5,2$ - $B(2) = -0,4\times4 + 6,4\times2 - 0,8 = -1,6 + 12,8 - 0,8 = 10,4$ - $B(4) = -0,4\times16 + 6,4\times4 - 0,8 = -6,4 + 25,6 - 0,8 = 18,4$ - $B(6) = -0,4\times36 + 6,4\times6 - 0,8 = -14,4 + 38,4 - 0,8 = 23,2$ - $B(8) = -0,4\times64 + 6,4\times8 - 0,8 = -25,6 + 51,2 - 0,8 = 24,8$ - $B(10) = -0,4\times100 + 6,4\times10 - 0,8 = -40 + 64 - 0,8 = 23,2$ - $B(12) = -0,4\times144 + 6,4\times12 - 0,8 = -57,6 + 76,8 - 0,8 = 18,4$ - $B(14) = -0,4\times196 + 6,4\times14 - 0,8 = -78,4 + 89,6 - 0,8 = 10,4$ - $B(15) = -0,4\times225 + 6,4\times15 - 0,8 = -90 + 96 - 0,8 = 5,2$ - $B(15,5) = -0,4\times240,25 + 6,4\times15,5 - 0,8 = -96,1 + 99,2 - 0,8 = 2,3$ - $B(16) = -0,4\times256 + 6,4\times16 - 0,8 = -102,4 + 102,4 - 0,8 = -0,8$ 6. **Lecture graphique :** - a) Le bénéfice est positif lorsque $B(x) > 0$. D'après les valeurs, cela se produit entre environ $0,1$ et $15,9$ tonnes. - b) Tableau de variation : - $B(x)$ croît de $x=0$ à $x=8$ (maximum) - $B(x)$ décroît de $x=8$ à $x=16$ - c) Le bénéfice maximal est atteint pour $x=8$ tonnes avec $B(8) = 24,8$ milliers d'euros. **Réponse finale :** - Recette : $$R(x) = 2,3x$$ - Bénéfice : $$B(x) = -0,4x^2 + 6,4x - 0,8$$ - Bénéfice maximal de 24,8 milliers d'euros pour 8 tonnes produites. - Bénéfice positif pour $x$ entre environ 0,1 et 15,9 tonnes.