1. **Problemstellung:** Frau M. hat 60 Liter Benzin, Verbrauch 9 Liter pro 100 km. Herr N. hat 50 Liter Benzin, Verbrauch 5 Liter pro 100 km. Gesucht sind die Funktionen für Benzinmenge $y$ in Abhängigkeit der Strecke $x$ (km). 2. **Formeln:** Der Benzinverbrauch pro 100 km ist gegeben, also ist der Verbrauch pro km: $$\text{Verbrauch pro km} = \frac{\text{Liter pro 100 km}}{100}$$ Die Benzinmenge nach $x$ km ist: $$y = \text{Anfangsmenge} - \text{Verbrauch pro km} \times x$$ 3. **Funktionen aufstellen:** Für Frau M.: $$y_M = 60 - \frac{9}{100}x = 60 - 0.09x$$ Für Herr N.: $$y_N = 50 - \frac{5}{100}x = 50 - 0.05x$$ 4. **Sinnvoller $x$-Bereich:** Die Benzinmenge darf nicht negativ sein, also: $$y \geq 0$$ Für Frau M.: $$60 - 0.09x \geq 0 \Rightarrow x \leq \frac{60}{0.09} = 666.67$$ Für Herr N.: $$50 - 0.05x \geq 0 \Rightarrow x \leq \frac{50}{0.05} = 1000$$ 5. **Schnittpunkt bestimmen:** Gleichsetzen: $$60 - 0.09x = 50 - 0.05x$$ $$60 - 50 = 0.09x - 0.05x$$ $$10 = 0.04x$$ $$x = \frac{10}{0.04} = 250$$ Benzinmenge an Schnittpunkt: $$y = 60 - 0.09 \times 250 = 60 - 22.5 = 37.5$$ 6. **Nullstellen bestimmen:** Nullstelle Frau M.: $$60 - 0.09x = 0 \Rightarrow x = \frac{60}{0.09} = 666.67$$ Nullstelle Herr N.: $$50 - 0.05x = 0 \Rightarrow x = \frac{50}{0.05} = 1000$$ 7. **Funktionswerte für $x=500$ km:** Frau M.: $$y_M = 60 - 0.09 \times 500 = 60 - 45 = 15$$ Herr N.: $$y_N = 50 - 0.05 \times 500 = 50 - 25 = 25$$ 8. **Stellen mit $y=10$ Liter:** Frau M.: $$10 = 60 - 0.09x \Rightarrow 0.09x = 50 \Rightarrow x = \frac{50}{0.09} = 555.56$$ Herr N.: $$10 = 50 - 0.05x \Rightarrow 0.05x = 40 \Rightarrow x = \frac{40}{0.05} = 800$$ **Zusammenfassung:** - Funktionen: $y_M = 60 - 0.09x$, $y_N = 50 - 0.05x$ - Schnittpunkt: $(250, 37.5)$ - Nullstellen: Frau M. bei $666.67$ km, Herr N. bei $1000$ km - Funktionswerte bei 500 km: Frau M. 15 l, Herr N. 25 l - $y=10$ l bei Frau M. $555.56$ km, bei Herr N. $800$ km - Sinnvoller $x$-Bereich: $0 \leq x \leq 666.67$ für Frau M., $0 \leq x \leq 1000$ für Herr N.