**Exercice N°12 BFEM 2011** 1. Montrer que $m$ est négatif. On a $m = 1 - 2\sqrt{3}$. Sachant que $\sqrt{3} \approx 1{,}732$, calculons une valeur approchée : $$m \approx 1 - 2 \times 1{,}732 = 1 - 3{,}464 = -2{,}464$$ Donc $m$ est négatif car $m < 0$. 2. Calculer $m^2$ puis déduire que $p$ et $m$ sont opposés. Calculons $m^2$ : $$m^2 = (1 - 2\sqrt{3})^2 = 1^2 - 2 \times 1 \times 2\sqrt{3} + (2\sqrt{3})^2 = 1 - 4\sqrt{3} + 4 \times 3 = 1 - 4\sqrt{3} + 12 = 13 - 4\sqrt{3}$$ On remarque que $p = \sqrt{13} - 4\sqrt{3}$ et $q = \sqrt{13} + 4\sqrt{3}$. Mais $m^2 = 13 - 4\sqrt{3}$ n'est pas égal à $p$ directement. Cependant, il y a une erreur dans l'énoncé ou dans la compréhension : $p$ et $m$ sont opposés signifie $p = -m$. Calculons $-m$ : $$-m = - (1 - 2\sqrt{3}) = -1 + 2\sqrt{3}$$ Or $p = \sqrt{13} - 4\sqrt{3}$, ce qui n'est pas égal à $-m$. Donc il faut vérifier l'énoncé ou considérer que $p$ et $m$ sont opposés dans un autre sens. En fait, on peut remarquer que $p$ et $m$ sont opposés si on considère $p = -m$. 3. Encadrer $m$ à $10^{-2}$ près sachant que $1{,}732 < \sqrt{3} < 1{,}733$. Calculons les bornes : $$m_{min} = 1 - 2 \times 1{,}733 = 1 - 3{,}466 = -2{,}466$$ $$m_{max} = 1 - 2 \times 1{,}732 = 1 - 3{,}464 = -2{,}464$$ Donc : $$-2{,}466 < m < -2{,}464$$ 4. Montrer que $p \times q = 11$. Calculons : $$p \times q = (\sqrt{13} - 4\sqrt{3})(\sqrt{13} + 4\sqrt{3}) = (\sqrt{13})^2 - (4\sqrt{3})^2 = 13 - 16 \times 3 = 13 - 48 = -35$$ Il y a une contradiction avec l'énoncé qui dit $p \times q = 11$. Peut-être une erreur dans les valeurs données ou dans la transcription. **Exercice N°13 BFEM 2012** 1. Soit $t = \sqrt{45} + \sqrt{196} - \sqrt{180} - \sqrt{245}$. Écris $t$ sous la forme $a + b\sqrt{c}$. Calculons chaque racine : $$\sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = 3\sqrt{5}$$ $$\sqrt{196} = 14$$ $$\sqrt{180} = \sqrt{36 \times 5} = 6\sqrt{5}$$ $$\sqrt{245} = \sqrt{49 \times 5} = 7\sqrt{5}$$ Donc : $$t = 3\sqrt{5} + 14 - 6\sqrt{5} - 7\sqrt{5} = 14 + (3 - 6 - 7)\sqrt{5} = 14 - 10\sqrt{5}$$ Donc $t = 14 - 10\sqrt{5}$. 2. On donne les réels $x = \frac{4}{7 + 3\sqrt{5}}$ et $y = 3\sqrt{5} - 7$. a) Écris $x$ avec un dénominateur rationnel. Rationnalisons le dénominateur : $$x = \frac{4}{7 + 3\sqrt{5}} \times \frac{7 - 3\sqrt{5}}{7 - 3\sqrt{5}} = \frac{4(7 - 3\sqrt{5})}{(7)^2 - (3\sqrt{5})^2} = \frac{28 - 12\sqrt{5}}{49 - 9 \times 5} = \frac{28 - 12\sqrt{5}}{49 - 45} = \frac{28 - 12\sqrt{5}}{4}$$ Donc : $$x = 7 - 3\sqrt{5}$$ b) Justifier que $y$ est négatif. Calculons une valeur approchée de $y$ sachant que $2{,}236 < \sqrt{5} < 2{,}237$ : $$y = 3\sqrt{5} - 7 \approx 3 \times 2{,}236 - 7 = 6{,}708 - 7 = -0{,}292$$ Donc $y$ est négatif. c) Justifier que $x = -y$. On a : $$x = 7 - 3\sqrt{5}$$ $$-y = -(3\sqrt{5} - 7) = -3\sqrt{5} + 7 = 7 - 3\sqrt{5}$$ Donc $x = -y$. d) Encadre $x$ à $10^{-2}$ près sachant que $2{,}236 < \sqrt{5} < 2{,}237$. Calculons les bornes : $$x_{min} = 7 - 3 \times 2{,}237 = 7 - 6{,}711 = 0{,}289$$ $$x_{max} = 7 - 3 \times 2{,}236 = 7 - 6{,}708 = 0{,}292$$ Donc : $$0{,}29 < x < 0{,}29$$ On peut écrire $x \approx 0{,}29$ à $10^{-2}$ près. e) On pose $z = (x - y)^2$. Justifier que $\sqrt{z} = -2y$. Calculons $x - y$ : $$x - y = (7 - 3\sqrt{5}) - (3\sqrt{5} - 7) = 7 - 3\sqrt{5} - 3\sqrt{5} + 7 = 14 - 6\sqrt{5}$$ Donc : $$z = (x - y)^2 = (14 - 6\sqrt{5})^2 = 14^2 - 2 \times 14 \times 6\sqrt{5} + (6\sqrt{5})^2 = 196 - 168\sqrt{5} + 36 \times 5 = 196 - 168\sqrt{5} + 180 = 376 - 168\sqrt{5}$$ Calculons $-2y$ : $$-2y = -2(3\sqrt{5} - 7) = -6\sqrt{5} + 14 = 14 - 6\sqrt{5}$$ On remarque que $\sqrt{z} = |x - y| = 14 - 6\sqrt{5} = -2y$ car $-2y > 0$ (puisque $y$ est négatif). Donc $\sqrt{z} = -2y$. **Réponses finales :** - $m$ est négatif. - $m^2 = 13 - 4\sqrt{3}$. - $-2{,}466 < m < -2{,}464$. - $p \times q = -35$ (contradiction avec l'énoncé). - $t = 14 - 10\sqrt{5}$. - $x = 7 - 3\sqrt{5}$. - $y$ est négatif. - $x = -y$. - $x \approx 0{,}29$. - $\sqrt{z} = -2y$.