1. Masalah: Tentukan bilangan bulat terbesar $n$ sehingga $$\frac{3+9+18+30+\cdots+n}{n} < 2021.$$\n\n2. Perhatikan deret di pembilang: 3, 9, 18, 30, ...\nDeret ini bukan aritmatika biasa, mari kita cari pola suku ke-$k$.\n\n3. Hitung beda antar suku:\n$9-3=6$, $18-9=9$, $30-18=12$, beda bertambah 3 tiap langkah, ini menunjukkan deret kuadrat.\n\n4. Misalkan suku ke-$k$ adalah $a_k$. Bentuk umum deret kuadrat adalah: $$a_k = Ak^2 + Bk + C.$$\n\n5. Gunakan tiga suku pertama untuk cari $A$, $B$, dan $C$: $$a_1=3= A(1)^2 + B(1) + C = A + B + C,$$ $$a_2=9= 4A + 2B + C,$$ $$a_3=18= 9A + 3B + C.$$\n\n6. Sistem persamaan: $$\begin{cases} A + B + C = 3 \\ 4A + 2B + C = 9 \\ 9A + 3B + C = 18 \end{cases}$$\nKurangkan persamaan pertama dari kedua dan ketiga: $$3A + B = 6,$$ $$8A + 2B = 15.$$\n\n7. Dari $3A + B = 6$, dapatkan $B = 6 - 3A$. Substitusikan ke $8A + 2B = 15$: $$8A + 2(6 - 3A) = 15,$$ $$8A + 12 - 6A = 15,$$ $$2A = 3,$$ $$A = \frac{3}{2} = 1.5.$$\n\n8. Hitung $B$: $$B = 6 - 3(1.5) = 6 - 4.5 = 1.5.$$\n\n9. Hitung $C$ dari $A + B + C = 3$: $$1.5 + 1.5 + C = 3,$$ $$C = 3 - 3 = 0.$$\n\n10. Jadi suku ke-$k$ adalah: $$a_k = 1.5 k^2 + 1.5 k = \frac{3}{2}k^2 + \frac{3}{2}k = \frac{3}{2}k(k+1).$$\n\n11. Jumlah suku dari $k=1$ sampai $k=m$ adalah: $$S_m = \sum_{k=1}^m a_k = \frac{3}{2} \sum_{k=1}^m k(k+1).$$\n\n12. Hitung jumlah $\sum_{k=1}^m k(k+1)$: $$\sum_{k=1}^m k(k+1) = \sum_{k=1}^m (k^2 + k) = \sum_{k=1}^m k^2 + \sum_{k=1}^m k.$$\n\n13. Gunakan rumus jumlah: $$\sum_{k=1}^m k = \frac{m(m+1)}{2},$$ $$\sum_{k=1}^m k^2 = \frac{m(m+1)(2m+1)}{6}.$$\n\n14. Jadi: $$\sum_{k=1}^m k(k+1) = \frac{m(m+1)(2m+1)}{6} + \frac{m(m+1)}{2} = m(m+1) \left( \frac{2m+1}{6} + \frac{1}{2} \right).$$\n\n15. Sederhanakan: $$\frac{2m+1}{6} + \frac{1}{2} = \frac{2m+1}{6} + \frac{3}{6} = \frac{2m+4}{6} = \frac{2(m+2)}{6} = \frac{m+2}{3}.$$\n\n16. Jadi: $$\sum_{k=1}^m k(k+1) = m(m+1) \frac{m+2}{3} = \frac{m(m+1)(m+2)}{3}.$$\n\n17. Maka jumlah suku: $$S_m = \frac{3}{2} \times \frac{m(m+1)(m+2)}{3} = \frac{1}{2} m(m+1)(m+2).$$\n\n18. Pertidaksamaan yang diberikan: $$\frac{S_m}{a_m} = \frac{\frac{1}{2} m(m+1)(m+2)}{\frac{3}{2} m(m+1)} < 2021.$$\n\n19. Sederhanakan pecahan: $$\frac{\frac{1}{2} m(m+1)(m+2)}{\frac{3}{2} m(m+1)} = \frac{1}{2} m(m+1)(m+2) \times \frac{2}{3 m(m+1)} = \frac{m+2}{3}.$$\n\n20. Jadi pertidaksamaan menjadi: $$\frac{m+2}{3} < 2021,$$ $$m+2 < 6063,$$ $$m < 6061.$$\n\n21. Karena $m$ adalah bilangan bulat, maka bilangan bulat terbesar $m$ yang memenuhi adalah: $$m = 6061.$$\n\n22. Karena $n = a_m = \frac{3}{2} m(m+1)$, hitung $n$: $$n = \frac{3}{2} \times 6061 \times 6062 = \frac{3}{2} \times 36748482 = 55122723.$$\n\nJawaban akhir: bilangan bulat terbesar $n$ adalah $$\boxed{55122723}.$$