1. Problema 282: Calcola il sesto termine dello sviluppo di $\left(a^2 + b\right)^8$.\n\n2. Formula: Il termine generale dello sviluppo binomiale è $$T_{k+1} = \binom{n}{k} A^{n-k} B^k$$ dove $n=8$, $A=a^2$, $B=b$, e $k$ è l'indice del termine meno uno.\n\n3. Per il sesto termine, $k=5$. Quindi:\n$$T_6 = \binom{8}{5} (a^2)^{8-5} b^5 = \binom{8}{5} a^{2\cdot 3} b^5 = \binom{8}{5} a^6 b^5$$\n\n4. Calcoliamo il coefficiente binomiale:\n$$\binom{8}{5} = \frac{8!}{5!3!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$$\n\n5. Quindi il sesto termine è:\n$$T_6 = 56 a^6 b^5$$\n\n---\n\n1. Problema 283: Determina $n$, sapendo che il coefficiente del terzo termine dello sviluppo di $\left(x + 2y\right)^n$ è 60.\n\n2. Il terzo termine corrisponde a $k=2$ (poiché il primo termine è $k=0$). La formula del coefficiente è:\n$$C = \binom{n}{2} 2^2 = \binom{n}{2} \cdot 4$$\n\n3. Dato che $C=60$, abbiamo:\n$$\binom{n}{2} \cdot 4 = 60 \implies \binom{n}{2} = \frac{60}{4} = 15$$\n\n4. Espandiamo il coefficiente binomiale:\n$$\binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2} = 15 \implies n(n-1) = 30$$\n\n5. Risolviamo l'equazione quadratica:\n$$n^2 - n - 30 = 0$$\n\n6. Calcoliamo il discriminante:\n$$\Delta = (-1)^2 - 4 \times 1 \times (-30) = 1 + 120 = 121$$\n\n7. Le soluzioni sono:\n$$n = \frac{1 \pm \sqrt{121}}{2} = \frac{1 \pm 11}{2}$$\n\n8. Quindi:\n$$n_1 = \frac{1 + 11}{2} = 6, \quad n_2 = \frac{1 - 11}{2} = -5$$\n\n9. Poiché $n$ deve essere naturale, $n=6$.\n\n---\n\n1. Problema 291: Calcola il coefficiente di $a^4 b^3$ nello sviluppo di $\left(2a + b\right)^7$.\n\n2. Il termine generale è:\n$$T_{k+1} = \binom{7}{k} (2a)^{7-k} b^k = \binom{7}{k} 2^{7-k} a^{7-k} b^k$$\n\n3. Cerchiamo $k$ tale che l'esponente di $a$ sia 4 e quello di $b$ sia 3.\n\n4. Dall'esponente di $a$: $$7 - k = 4 \implies k = 3$$\n\n5. Verifichiamo l'esponente di $b$: $$k = 3$$ che corrisponde a $b^3$.\n\n6. Calcoliamo il coefficiente:\n$$\binom{7}{3} 2^{7-3} = \binom{7}{3} 2^4$$\n\n7. Calcoliamo il coefficiente binomiale:\n$$\binom{7}{3} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$$\n\n8. Calcoliamo la potenza di 2:\n$$2^4 = 16$$\n\n9. Quindi il coefficiente è:\n$$35 \times 16 = 560$$\n\n10. Risposta finale: il coefficiente di $a^4 b^3$ è $560$.