1. **Énoncé du problème :** Nous devons démontrer deux identités utilisant la somme des coefficients binomiaux : (1) $$\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} = 2^n$$ (2) $$\sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n}{k} = 0$$ 2. **Formule utilisée :** La formule du binôme de Newton est : $$ (a+b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n-k} b^k $$ Cette formule exprime le développement de la puissance d'une somme. 3. **Démonstration de la première identité :** - Prenons $a=1$ et $b=1$ dans la formule du binôme : $$ (1+1)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} 1^{n-k} 1^k = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} $$ - Comme $1^{n-k} = 1$ et $1^k = 1$, la somme devient simplement la somme des coefficients binomiaux. - Donc : $$ 2^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} $$ 4. **Démonstration de la deuxième identité :** - Prenons $a = -1$ et $b = 1$ dans la formule du binôme : $$ (-1 + 1)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (-1)^{n-k} 1^k $$ - Simplifions le membre de gauche : $$ 0^n = 0 \quad \text{pour } n \geq 1 $$ - Le membre de droite devient : $$ \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (-1)^{n-k} = (-1)^n \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (-1)^k $$ - En multipliant par $(-1)^n$ des deux côtés, on obtient : $$ 0 = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (-1)^k $$ 5. **Conclusion :** - La première somme des coefficients binomiaux vaut $2^n$. - La deuxième somme alternée des coefficients binomiaux vaut $0$. Ces résultats sont des conséquences directes de la formule du binôme de Newton.