1. Problem: Setze für ■ eine passende Zahl bzw. einen passenden Term ein, sodass unter der Wurzel eine binomische Formel entsteht, und ziehe dann die Wurzel. 2. a) Gegeben: $$\sqrt{a^2 - 2ab + \square}$$ - Binomische Formel: $$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$ - Also ist $$\square = b^2$$ - Wurzel ziehen: $$\sqrt{(a - b)^2} = |a - b|$$ 3. b) Gegeben: $$\sqrt{4x^2 + 4xy + \square}$$ - Binomische Formel: $$(2x + y)^2 = 4x^2 + 4xy + y^2$$ - Also ist $$\square = y^2$$ - Wurzel ziehen: $$\sqrt{(2x + y)^2} = |2x + y|$$ 4. c) Gegeben: $$\sqrt{p^2 + q^2 - \square}$$ - Binomische Formel: $$(p - q)^2 = p^2 - 2pq + q^2$$ - Um die Formel zu erhalten, muss $$-\square = -2pq$$ also $$\square = 2pq$$ sein - Wurzel ziehen: $$\sqrt{(p - q)^2} = |p - q|$$ 5. d) Gegeben: $$\sqrt{\square - 4st + t^2}$$ - Binomische Formel: $$(s - t)^2 = s^2 - 2\cdot s \cdot t \cdot 2 + t^2 = s^2 - 4st + t^2$$ - Also ist $$\square = s^2$$ - Wurzel ziehen: $$\sqrt{(s - t)^2} = |s - t|$$ 6. e) Gegeben: $$\sqrt{s^2 - 2s + \square}$$ - Binomische Formel: $$(s - 1)^2 = s^2 - 2s + 1$$ - Also ist $$\square = 1$$ - Wurzel ziehen: $$\sqrt{(s - 1)^2} = |s - 1|$$ 7. f) Gegeben: $$\sqrt{9x^2 + \square xy + 4y^2}$$ - Binomische Formel: $$(3x + 2y)^2 = 9x^2 + 12xy + 4y^2$$ - Also ist $$\square = 12$$ - Wurzel ziehen: $$\sqrt{(3x + 2y)^2} = |3x + 2y|$$ 8. g) Gegeben: $$\sqrt{x^2 + 1 + \square}$$ - Binomische Formel: $$(x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1$$ - Also ist $$\square = 2x$$ - Wurzel ziehen: $$\sqrt{(x + 1)^2} = |x + 1|$$ 9. h) Gegeben: $$\sqrt{9 - 6a + \square}$$ - Binomische Formel: $$(3 - a)^2 = 9 - 6a + a^2$$ - Also ist $$\square = a^2$$ - Wurzel ziehen: $$\sqrt{(3 - a)^2} = |3 - a|$$ 10. i) Gegeben: $$\sqrt{a^2 + ab + \square}$$ - Binomische Formel: $$(a + \frac{b}{2})^2 = a^2 + ab + \frac{b^2}{4}$$ - Also ist $$\square = \frac{b^2}{4}$$ - Wurzel ziehen: $$\sqrt{(a + \frac{b}{2})^2} = |a + \frac{b}{2}|$$ 11. j) Gegeben: $$\sqrt{a^2 + 4a + \square}$$ - Binomische Formel: $$(a + 2)^2 = a^2 + 4a + 4$$ - Also ist $$\square = 4$$ - Wurzel ziehen: $$\sqrt{(a + 2)^2} = |a + 2|$$ 12. k) Gegeben: $$\sqrt{s^2 - s + \square}$$ - Binomische Formel: $$(s - \frac{1}{2})^2 = s^2 - s + \frac{1}{4}$$ - Also ist $$\square = \frac{1}{4}$$ - Wurzel ziehen: $$\sqrt{(s - \frac{1}{2})^2} = |s - \frac{1}{2}|$$ 13. l) Gegeben: $$\sqrt{\square + 0.6pq + q^2}$$ - Binomische Formel: $$(\sqrt{\square} + q)^2 = \square + 2 \cdot \sqrt{\square} \cdot q + q^2$$ - Hier ist der mittlere Term $$0.6pq$$, also $$2 \cdot \sqrt{\square} \cdot q = 0.6pq$$ - Daraus folgt $$2 \cdot \sqrt{\square} = 0.6p \Rightarrow \sqrt{\square} = 0.3p$$ - Also ist $$\square = (0.3p)^2 = 0.09p^2$$ - Wurzel ziehen: $$\sqrt{(0.3p + q)^2} = |0.3p + q|$$ Antworten: a) $$b^2$$, Wurzel: $$|a - b|$$ b) $$y^2$$, Wurzel: $$|2x + y|$$ c) $$2pq$$, Wurzel: $$|p - q|$$ d) $$s^2$$, Wurzel: $$|s - t|$$ e) $$1$$, Wurzel: $$|s - 1|$$ f) $$12$$, Wurzel: $$|3x + 2y|$$ g) $$2x$$, Wurzel: $$|x + 1|$$ h) $$a^2$$, Wurzel: $$|3 - a|$$ i) $$\frac{b^2}{4}$$, Wurzel: $$|a + \frac{b}{2}|$$ j) $$4$$, Wurzel: $$|a + 2|$$ k) $$\frac{1}{4}$$, Wurzel: $$|s - \frac{1}{2}|$$ l) $$0.09p^2$$, Wurzel: $$|0.3p + q|$$