1. Állítsuk fel a problémát: Egy gazda birtokát négy fia között osztotta el. András a nyáj negyedét kapja, Béla a harmadát, Csaba az András és Béla része után meghatározott részt, Dezső pedig 40 birtokot visz haza. 2. Jelöljük a birtokok számát $x$-szel. 3. András része: $\frac{x}{4}$. 4. Béla része: $\frac{x}{3}$. 5. Csaba része: $x - \left(\frac{x}{4} + \frac{x}{3} + 40\right)$, mert a teljes birtokból kivonjuk András, Béla és Dezső részeit. 6. Összeadva a részeket: $\frac{x}{4} + \frac{x}{3} + \left(x - \left(\frac{x}{4} + \frac{x}{3} + 40\right)\right) + 40 = x$. 7. Egyszerűsítve: $\frac{x}{4} + \frac{x}{3} + x - \frac{x}{4} - \frac{x}{3} - 40 + 40 = x$. 8. Ez egy igaz állítás, így a birtokok száma $x$ tetszőleges, de mivel Csaba része nem lehet negatív, számoljuk ki pontosan: 9. Csaba része: $x - \left(\frac{x}{4} + \frac{x}{3} + 40\right) = x - \frac{3x}{12} - \frac{4x}{12} - 40 = x - \frac{7x}{12} - 40 = \frac{5x}{12} - 40$. 10. Csaba része nem lehet negatív, tehát $\frac{5x}{12} - 40 \geq 0 \Rightarrow \frac{5x}{12} \geq 40 \Rightarrow x \geq \frac{40 \times 12}{5} = 96$. 11. Tehát a birtokok száma legalább 96. --- 12. Második probléma: Kátá 39600 forintot költött reklámra. Egy sütemény elkészítése 400 forint, eladási ára 900 forint. 13. Jelöljük a sütemények számát $n$-nel. 14. A bevétel: $900n$, a költség: $400n + 39600$. 15. Ahhoz, hogy nyereséges legyen: $900n \geq 400n + 39600$. 16. Egyszerűsítve: $500n \geq 39600 \Rightarrow n \geq \frac{39600}{500} = 79.2$. 17. Tehát legalább 80 süteményt kell eladni. --- 18. Harmadik probléma: Három szám összege 92. Az első a második 125%-a, az alsó és harmadik összege a második háromszorosánál 12-vel több. 19. Jelöljük a számokat $x$, $y$, $z$-vel. 20. Feltételek: $$x + y + z = 92$$ $$x = 1.25y$$ $$y \times 3 + 12 = z + x$$ 21. Helyettesítsük be $x$-et az első egyenletbe: $$1.25y + y + z = 92 \Rightarrow 2.25y + z = 92$$ 22. A harmadik egyenletet átrendezve: $$z + x = 3y + 12 \Rightarrow z + 1.25y = 3y + 12 \Rightarrow z = 3y + 12 - 1.25y = 1.75y + 12$$ 23. Helyettesítsük $z$-t a 21. egyenletbe: $$2.25y + 1.75y + 12 = 92 \Rightarrow 4y + 12 = 92 \Rightarrow 4y = 80 \Rightarrow y = 20$$ 24. Számoljuk ki $x$-et és $z$-t: $$x = 1.25 \times 20 = 25$$ $$z = 1.75 \times 20 + 12 = 35 + 12 = 47$$ 25. Ellenőrzés: $25 + 20 + 47 = 92$ igaz. --- Végső válaszok: - A birtokok száma legalább 96. - Legalább 80 süteményt kell eladni. - A három szám: $x=25$, $y=20$, $z=47$.