1. **نص المشكلة:** نريد إيجاد جذر للمعادلة $$x^4 + 2x = 4$$ في الفترة $$[1, 2]$$ باستخدام طريقة التنصيف (طريقة نصف القطر). 2. **صيغة المعادلة:** نعيد كتابة المعادلة على شكل دالة صفرية: $$f(x) = x^4 + 2x - 4$$ 3. **قاعدة طريقة التنصيف:** نبدأ بفترة $$[a, b] = [1, 2]$$ حيث $$f(a)\cdot f(b) < 0$$، ثم نحسب منتصف الفترة $$m = \frac{a+b}{2}$$ ونقيم $$f(m)$$. - إذا كان $$f(a)\cdot f(m) < 0$$، نأخذ الفترة الجديدة $$[a, m]$$. - إذا كان $$f(m)\cdot f(b) < 0$$، نأخذ الفترة الجديدة $$[m, b]$$. نكرر هذه الخطوات حتى نحصل على دقة منزل عشرية واحدة. 4. **التقييمات الأولية:** $$f(1) = 1^4 + 2(1) - 4 = 1 + 2 - 4 = -1$$ $$f(2) = 2^4 + 2(2) - 4 = 16 + 4 - 4 = 16$$ لأن $$f(1) < 0$$ و $$f(2) > 0$$، الجذر بين 1 و 2. 5. **التنصيف:** - الخطوة 1: $$m_1 = \frac{1+2}{2} = 1.5$$ $$f(1.5) = (1.5)^4 + 2(1.5) - 4 = 5.0625 + 3 - 4 = 4.0625 > 0$$ لأن $$f(1) < 0$$ و $$f(1.5) > 0$$، الجذر في $$[1, 1.5]$$. - الخطوة 2: $$m_2 = \frac{1+1.5}{2} = 1.25$$ $$f(1.25) = (1.25)^4 + 2(1.25) - 4 = 2.4414 + 2.5 - 4 = 0.9414 > 0$$ الجذر في $$[1, 1.25]$$ لأن $$f(1) < 0$$ و $$f(1.25) > 0$$. - الخطوة 3: $$m_3 = \frac{1+1.25}{2} = 1.125$$ $$f(1.125) = (1.125)^4 + 2(1.125) - 4 = 1.6018 + 2.25 - 4 = -0.1482 < 0$$ الجذر في $$[1.125, 1.25]$$ لأن $$f(1.125) < 0$$ و $$f(1.25) > 0$$. - الخطوة 4: $$m_4 = \frac{1.125+1.25}{2} = 1.1875$$ $$f(1.1875) = (1.1875)^4 + 2(1.1875) - 4 = 2.0005 + 2.375 - 4 = 0.3755 > 0$$ الجذر في $$[1.125, 1.1875]$$ لأن $$f(1.125) < 0$$ و $$f(1.1875) > 0$$. - الخطوة 5: $$m_5 = \frac{1.125+1.1875}{2} = 1.15625$$ $$f(1.15625) = (1.15625)^4 + 2(1.15625) - 4 = 1.7835 + 2.3125 - 4 = 0.0960 > 0$$ الجذر في $$[1.125, 1.15625]$$ لأن $$f(1.125) < 0$$ و $$f(1.15625) > 0$$. - الخطوة 6: $$m_6 = \frac{1.125+1.15625}{2} = 1.140625$$ $$f(1.140625) = (1.140625)^4 + 2(1.140625) - 4 = 1.6903 + 2.2813 - 4 = -0.0279 < 0$$ الجذر في $$[1.140625, 1.15625]$$ لأن $$f(1.140625) < 0$$ و $$f(1.15625) > 0$$. - الخطوة 7: $$m_7 = \frac{1.140625+1.15625}{2} = 1.1484375$$ $$f(1.1484375) = (1.1484375)^4 + 2(1.1484375) - 4 = 1.7364 + 2.2969 - 4 = 0.0340 > 0$$ الجذر في $$[1.140625, 1.1484375]$$ لأن $$f(1.140625) < 0$$ و $$f(1.1484375) > 0$$. - الخطوة 8: $$m_8 = \frac{1.140625+1.1484375}{2} = 1.14453125$$ $$f(1.14453125) = (1.14453125)^4 + 2(1.14453125) - 4 = 1.7133 + 2.2891 - 4 = 0.0030 > 0$$ الجذر في $$[1.140625, 1.14453125]$$ لأن $$f(1.140625) < 0$$ و $$f(1.14453125) > 0$$. - الخطوة 9: $$m_9 = \frac{1.140625+1.14453125}{2} = 1.142578125$$ $$f(1.142578125) = (1.142578125)^4 + 2(1.142578125) - 4 = 1.7018 + 2.2852 - 4 = -0.0124 < 0$$ الجذر في $$[1.142578125, 1.14453125]$$ لأن $$f(1.142578125) < 0$$ و $$f(1.14453125) > 0$$. 6. **النتيجة:** الجذر الصحيح لمنزلة عشرية واحدة هو $$1.1$$ لأن الجذر يقع بين $$1.1$$ و $$1.2$$، وبالتنصيف الدقيق وجدنا أنه أقرب إلى $$1.1$$. **الجواب النهائي:** $$\boxed{1.1}$$