1. Wir sollen die Bruchgleichung $$\frac{1}{x-3} = \frac{2}{x-1}$$ lösen. 2. Wichtig: Bei Bruchgleichungen dürfen Nenner nicht null sein. Also gilt: $$x-3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$$ $$x-1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$$ 3. Um die Gleichung zu lösen, kreuzmultiplizieren wir: $$1 \cdot (x-1) = 2 \cdot (x-3)$$ 4. Das ergibt: $$x - 1 = 2x - 6$$ 5. Nun bringen wir alle Terme auf eine Seite: $$x - 1 - 2x + 6 = 0$$ $$-x + 5 = 0$$ 6. Umstellen nach $x$: $$-x = -5$$ $$x = 5$$ 7. Prüfen, ob $x=5$ die Definitionsmenge verletzt: $$5 \neq 3$$ und $$5 \neq 1$$, also ist $x=5$ zulässig. 8. Die Lösung der Bruchgleichung ist: $$\boxed{5}$$