1. **Problemstellung:** Löse die Gleichung $$\frac{1}{3x^2} - 1 = \frac{1}{6x}$$ mit der Bedingung $$x \neq 0$$. 2. **Formel und Regeln:** Um Bruchgleichungen zu lösen, multiplizieren wir beide Seiten mit dem Hauptnenner, um die Brüche zu eliminieren. Dabei müssen wir beachten, dass $$x \neq 0$$ ist, da sonst Division durch Null entsteht. 3. **Hauptnenner bestimmen:** Die Nenner sind $$3x^2$$ und $$6x$$. Der Hauptnenner ist $$6x^2$$. 4. **Beide Seiten mit $$6x^2$$ multiplizieren:** $$6x^2 \cdot \left(\frac{1}{3x^2} - 1\right) = 6x^2 \cdot \frac{1}{6x}$$ 5. **Ausmultiplizieren:** $$6x^2 \cdot \frac{1}{3x^2} - 6x^2 \cdot 1 = 6x^2 \cdot \frac{1}{6x}$$ 6. **Kürzen mit \cancel{}:** $$\cancel{6}x^{\cancel{2}} \cdot \frac{1}{\cancel{3}x^{\cancel{2}}} - 6x^2 = \cancel{6}x^{\cancel{2}} \cdot \frac{1}{\cancel{6}x}$$ 7. **Vereinfachen:** $$2 - 6x^2 = x$$ 8. **Umstellen auf eine Nullseite:** $$-6x^2 - x + 2 = 0$$ 9. **Multipliziere mit -1, um das Vorzeichen zu ändern:** $$6x^2 + x - 2 = 0$$ 10. **Löse die quadratische Gleichung mit der Mitternachtsformel:** $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ mit $$a=6$$, $$b=1$$, $$c=-2$$. 11. **Diskriminante berechnen:** $$\Delta = 1^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-2) = 1 + 48 = 49$$ 12. **Lösungen berechnen:** $$x = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 6} = \frac{-1 \pm 7}{12}$$ 13. **Erste Lösung:** $$x_1 = \frac{-1 + 7}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$$ 14. **Zweite Lösung:** $$x_2 = \frac{-1 - 7}{12} = \frac{-8}{12} = -\frac{2}{3}$$ 15. **Prüfung der Definitionsmenge:** Beide Werte sind ungleich Null, also gültige Lösungen. **Endergebnis:** $$x = \frac{1}{2}$$ oder $$x = -\frac{2}{3}$$