1. Das Problem: Wir wollen verstehen, wie man Bruchgleichungen löst. 2. Eine Bruchgleichung ist eine Gleichung, in der Variablen im Nenner von Brüchen vorkommen, z.B. $\frac{1}{x} = 2$. 3. Wichtig: Nenner dürfen nicht null sein, also müssen wir Definitionslücken beachten. 4. Schritt: Bestimme den Hauptnenner aller Brüche in der Gleichung. 5. Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit dem Hauptnenner, um die Brüche zu eliminieren. 6. Beispiel: Löse $\frac{2}{x} + \frac{3}{x+1} = 1$. 7. Hauptnenner ist $x(x+1)$. 8. Multipliziere beide Seiten mit $x(x+1)$: $$x(x+1) \cdot \left(\frac{2}{x} + \frac{3}{x+1}\right) = x(x+1) \cdot 1$$ 9. Das ergibt: $$ (x+1) \cdot 2 + x \cdot 3 = x(x+1) $$ 10. Vereinfache: $$ 2x + 2 + 3x = x^2 + x $$ 11. Fasse zusammen: $$ 5x + 2 = x^2 + x $$ 12. Bringe alle Terme auf eine Seite: $$ 0 = x^2 + x - 5x - 2 $$ $$ 0 = x^2 - 4x - 2 $$ 13. Löse die quadratische Gleichung mit der Mitternachtsformel: $$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$ mit $a=1$, $b=-4$, $c=-2$. 14. Berechne: $$ x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 8}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{24}}{2} $$ 15. Vereinfache $\sqrt{24} = 2\sqrt{6}$: $$ x = \frac{4 \pm 2\sqrt{6}}{2} = 2 \pm \sqrt{6} $$ 16. Prüfe, ob Nenner null werden: - Für $x=2+\sqrt{6}$: $x \neq 0$ und $x+1 \neq 0$. - Für $x=2-\sqrt{6}$: ebenfalls $x \neq 0$ und $x+1 \neq 0$. 17. Beide Lösungen sind gültig. 18. Zusammenfassung: Bruchgleichungen löst man, indem man beide Seiten mit dem Hauptnenner multipliziert, die entstehende Gleichung löst und dann die Lösungen auf Definitionslücken überprüft.