1. Il problema chiede come calcolare il segno di una funzione, cioè determinare dove la funzione è positiva, negativa o nulla. 2. Per calcolare il segno di una funzione $f(x)$, si seguono questi passi: - Si trova il dominio della funzione, cioè l'insieme dei valori di $x$ per cui $f(x)$ è definita. - Si calcolano i punti in cui $f(x) = 0$, chiamati zeri o radici della funzione. - Si studia il segno di $f(x)$ negli intervalli determinati dagli zeri, scegliendo un punto di prova in ogni intervallo e valutando il segno di $f(x)$ in quel punto. 3. Regole importanti: - Se $f(x)$ è un polinomio, il segno cambia solo in corrispondenza degli zeri di molteplicità dispari. - Se $f(x)$ è un rapporto di polinomi, bisogna anche considerare i punti in cui il denominatore è zero (punti di discontinuità). 4. Esempio generico: Supponiamo $f(x) = (x-2)(x+3)$. - Troviamo gli zeri: $x=2$ e $x=-3$. - Studiamo il segno in tre intervalli: $(-\infty,-3)$, $(-3,2)$, $(2,+\infty)$. - Scegliamo un punto di prova in ogni intervallo, ad esempio $x=-4$, $x=0$, $x=3$. Calcoliamo: $$f(-4) = (-4-2)(-4+3) = (-6)(-1) = 6 > 0$$ $$f(0) = (0-2)(0+3) = (-2)(3) = -6 < 0$$ $$f(3) = (3-2)(3+3) = (1)(6) = 6 > 0$$ Quindi il segno di $f(x)$ è positivo per $x < -3$, negativo per $-3 < x < 2$, e positivo per $x > 2$. 5. In sintesi, per calcolare il segno di una funzione si trovano gli zeri, si dividono gli intervalli e si valuta il segno in ogni intervallo con un punto di prova.