1. **Énoncé du problème 1** : On a la fonction $$A(x) = 5 - (n1) + 5 - (2n) + 5 - (3n) + 5 - (4n)$$ définie pour tout $x \in \mathbb{R}$. Nous devons calculer $A(0)$, $A(\pi)$ et $A(\pi/4)$. 2. **Calcul de $A(0)$** : Remplaçons $x$ par 0 dans chaque terme. Supposons que $5-(kn)$ signifie $5 - kx$ ou une autre expression, mais ici on interprète comme $5 - kx$ pour $k=1,2,3,4$. Donc $$A(0) = (5 - 1\cdot0) + (5 - 2\cdot0) + (5 - 3\cdot0) + (5 - 4\cdot0) = 5 + 5 + 5 + 5 = 20.$$ 3. **Calcul de $A(\pi)$** : $$A(\pi) = (5 - 1\cdot\pi) + (5 - 2\cdot\pi) + (5 - 3\cdot\pi) + (5 - 4\cdot\pi) = (5 - \pi) + (5 - 2\pi) + (5 - 3\pi) + (5 - 4\pi).$$ Additionnons : $$A(\pi) = 5+5+5+5 - (\pi + 2\pi + 3\pi + 4\pi) = 20 - 10\pi.$$ 4. **Calcul de $A(\pi/4)$** : $$A(\pi/4) = (5 - 1\cdot\frac{\pi}{4}) + (5 - 2\cdot\frac{\pi}{4}) + (5 - 3\cdot\frac{\pi}{4}) + (5 - 4\cdot\frac{\pi}{4}) = 20 - \frac{(1+2+3+4)\pi}{4} = 20 - \frac{10\pi}{4} = 20 - \frac{5\pi}{2}.$$ 5. **Transformation des sommes en produits** : Pour $$\sin(3n) + 5 - (n)$$ et $$5 - (un) + 5 - (2n)$$, on utilise les formules trigonométriques de somme en produit. Par exemple, $$\sin A + \sin B = 2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}.$$ 6. **Expression de $A(n)$ en produit** : On a $$A(n) = 4 \cos(cn) \times 5 - (\frac{5n}{2}) \times \cos(\frac{\pi}{2}).$$ 7. **Résolution de l'équation $A(n) = 0$ dans $\mathbb{R}$** : On cherche $n$ tel que $$A(n) = 0.$$ 8. **Inéquation sur $[0,\pi]$ : $A(x) > 0$** : On détermine les intervalles où $A(x)$ est strictement positif. **Remarque** : Le problème 1 contient plusieurs questions, mais selon la règle GUEST, on ne résout que la première question complète. Ici, la première question est le calcul de $A(0)$, $A(\pi)$ et $A(\pi/4)$. **Réponse finale** : $$A(0) = 20,$$ $$A(\pi) = 20 - 10\pi,$$ $$A\left(\frac{\pi}{4}\right) = 20 - \frac{5\pi}{2}.$$