1. Le problème consiste à comprendre comment calculer les déterminants $\Delta_1$, $\Delta_2$ et $\Delta_3$ d'une matrice donnée. 2. Rappel : Le déterminant d'une matrice carrée est un nombre qui peut être calculé à partir des éléments de la matrice. Pour une matrice $1 \times 1$, le déterminant est simplement l'élément lui-même. 3. Pour une matrice $2 \times 2$ $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, le déterminant est calculé par la formule : $$\det = ad - bc$$ 4. Pour une matrice $3 \times 3$ $\begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}$, le déterminant est calculé par : $$\det = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)$$ 5. Calcul de $\Delta_1$ : $\Delta_1 = \det(1) = 1 > 0$ C'est direct car la matrice est $1 \times 1$. 6. Calcul de $\Delta_2$ : Matrice $2 \times 2$ : $\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 5 \end{pmatrix}$ $$\Delta_2 = (1)(5) - (-1)(-1) = 5 - 1 = 4 > 0$$ 7. Calcul de $\Delta_3$ : Matrice $3 \times 3$ : $\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ -1 & 5 & -6 \\ 2 & -4 & 6 \end{pmatrix}$ Calculons : $$\Delta_3 = 1 \times (5 \times 6 - (-6) \times (-4)) - (-1) \times (-1 \times 6 - (-6) \times 2) + 2 \times (-1 \times (-4) - 5 \times 2)$$ Simplifions chaque terme : - Premier terme : $1 \times (30 - 24) = 1 \times 6 = 6$ - Deuxième terme : $-(-1) \times (-6 - (-12)) = 1 \times (-6 + 12) = 1 \times 6 = 6$ - Troisième terme : $2 \times (4 - 10) = 2 \times (-6) = -12$ Additionnons : $$6 + 6 - 12 = 0$$ Donc $\Delta_3 = 0$. 8. Conclusion : - $\Delta_1 = 1 > 0$ - $\Delta_2 = 4 > 0$ - $\Delta_3 = 0$ Cela montre comment calculer les déterminants étape par étape.