1. **Énoncé du problème :** Calculer $P(3)$ pour le polynôme $$P(x) = x^3 - (4 + \sqrt{3})x^2 + (3 + 4\sqrt{3})x - 3\sqrt{3}.$$ 2. **Formule utilisée :** Pour calculer $P(3)$, on remplace $x$ par 3 dans l'expression de $P(x)$. 3. **Calcul intermédiaire :** $$P(3) = 3^3 - (4 + \sqrt{3})3^2 + (3 + 4\sqrt{3})3 - 3\sqrt{3}$$ 4. **Simplification des puissances :** $$P(3) = 27 - (4 + \sqrt{3})9 + (3 + 4\sqrt{3})3 - 3\sqrt{3}$$ 5. **Distribution des coefficients :** $$P(3) = 27 - 36 - 9\sqrt{3} + 9 + 12\sqrt{3} - 3\sqrt{3}$$ 6. **Regroupement des termes constants et des termes avec $\sqrt{3}$ :** $$P(3) = (27 - 36 + 9) + (-9\sqrt{3} + 12\sqrt{3} - 3\sqrt{3})$$ 7. **Calcul des sommes :** $$P(3) = 0 + 0 = 0$$ **Réponse finale :** $$\boxed{P(3) = 0}$$ Cela montre que $P(3) = 0$, ce qui implique que $(x - 3)$ est un facteur de $P(x)$ selon le théorème du reste.