1. Énoncé du problème : Nous avons la fonction de points bonis $N(s) = a \left[-\frac{1}{10}(s - 15)\right] + k$, où $s$ est la somme dépensée. Claire a dépensé 12 et obtenu 20 points, Maryse a dépensé 25 et obtenu 22 points, et Mathis a reçu 80 points. Nous devons trouver la somme $s$ dépensée par Mathis. 2. Utilisation des données pour trouver $a$ et $k$ : Pour Claire : $$20 = a \left[-\frac{1}{10}(12 - 15)\right] + k = a \left[-\frac{1}{10}(-3)\right] + k = a \times \frac{3}{10} + k$$ Pour Maryse : $$22 = a \left[-\frac{1}{10}(25 - 15)\right] + k = a \left[-\frac{1}{10}(10)\right] + k = a \times (-1) + k$$ 3. Équations du système : $$20 = \frac{3}{10}a + k$$ $$22 = -a + k$$ 4. Soustraire la première équation de la deuxième pour éliminer $k$ : $$22 - 20 = (-a + k) - \left(\frac{3}{10}a + k\right)$$ $$2 = -a - \frac{3}{10}a = -\frac{13}{10}a$$ 5. Résoudre pour $a$ : $$2 = -\frac{13}{10}a \Rightarrow a = 2 \times \frac{-10}{13} = -\frac{20}{13}$$ 6. Trouver $k$ en remplaçant $a$ dans la première équation : $$20 = \frac{3}{10} \times \left(-\frac{20}{13}\right) + k = -\frac{60}{130} + k = -\frac{6}{13} + k$$ $$k = 20 + \frac{6}{13} = \frac{260}{13} + \frac{6}{13} = \frac{266}{13}$$ 7. Trouver la somme $s$ dépensée par Mathis sachant que $N(s) = 80$ : $$80 = a \left[-\frac{1}{10}(s - 15)\right] + k = -\frac{20}{13} \times \left[-\frac{1}{10}(s - 15)\right] + \frac{266}{13}$$ 8. Simplifier l'expression : $$80 = \frac{20}{13} \times \frac{1}{10} (s - 15) + \frac{266}{13} = \frac{2}{13} (s - 15) + \frac{266}{13}$$ 9. Multiplier toute l'équation par 13 pour éliminer les dénominateurs : $$80 \times 13 = 2 (s - 15) + 266$$ $$1040 = 2s - 30 + 266$$ $$1040 = 2s + 236$$ 10. Isoler $s$ : $$1040 - 236 = 2s$$ $$804 = 2s$$ $$s = \frac{804}{2} = 402$$ Réponse finale : Mathis a dépensé 402 mardi dernier.