1. Planteamos el problema: Dada la ecuación $$6x = 10\sqrt{3}$$ y la expresión $$ (x^n) \log_x 3 = 3 \log_{\sqrt{3}} x + 2^1 + 4 \log_x x $$, debemos calcular el valor de $$n$$. 2. Primero, despejamos $$x$$ de la ecuación $$6x = 10\sqrt{3}$$: $$x = \frac{10\sqrt{3}}{6} = \frac{5\sqrt{3}}{3}$$ 3. Simplificamos la expresión dada: Recordemos que $$\log_x x = 1$$ y $$2^1 = 2$$. La expresión queda: $$(x^n) \log_x 3 = 3 \log_{\sqrt{3}} x + 2 + 4 \times 1 = 3 \log_{\sqrt{3}} x + 6$$ 4. Cambiamos la base del logaritmo $$\log_{\sqrt{3}} x$$ a base $$x$$ usando la fórmula: $$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$$ Entonces: $$\log_{\sqrt{3}} x = \frac{\log_x x}{\log_x \sqrt{3}} = \frac{1}{\log_x \sqrt{3}}$$ 5. Sustituimos en la expresión: $$(x^n) \log_x 3 = 3 \times \frac{1}{\log_x \sqrt{3}} + 6$$ 6. Sabemos que $$\sqrt{3} = 3^{1/2}$$, por lo que: $$\log_x \sqrt{3} = \log_x 3^{1/2} = \frac{1}{2} \log_x 3$$ 7. Por lo tanto: $$\frac{1}{\log_x \sqrt{3}} = \frac{1}{\frac{1}{2} \log_x 3} = \frac{2}{\log_x 3}$$ 8. Sustituimos nuevamente: $$(x^n) \log_x 3 = 3 \times \frac{2}{\log_x 3} + 6 = \frac{6}{\log_x 3} + 6$$ 9. Multiplicamos ambos lados por $$\log_x 3$$ para eliminar denominadores: $$x^n (\log_x 3)^2 = 6 + 6 \log_x 3$$ 10. Definimos $$y = \log_x 3$$, entonces: $$x^n y^2 = 6 + 6y$$ 11. Recordemos que $$x = \frac{5\sqrt{3}}{3}$$ y $$y = \log_x 3$$. 12. Usamos la propiedad de logaritmos para expresar $$y$$ en términos de logaritmos naturales: $$y = \frac{\ln 3}{\ln x}$$ 13. Calculamos $$\ln x$$: $$\ln x = \ln \left( \frac{5\sqrt{3}}{3} \right) = \ln 5 + \ln \sqrt{3} - \ln 3 = \ln 5 + \frac{1}{2} \ln 3 - \ln 3 = \ln 5 - \frac{1}{2} \ln 3$$ 14. Por lo tanto: $$y = \frac{\ln 3}{\ln 5 - \frac{1}{2} \ln 3}$$ 15. Ahora, expresamos $$x^n$$ en términos de $$e$$: $$x^n = e^{n \ln x}$$ 16. La ecuación del paso 10 es: $$e^{n \ln x} y^2 = 6 + 6y$$ 17. Despejamos $$e^{n \ln x}$$: $$e^{n \ln x} = \frac{6 + 6y}{y^2} = \frac{6(1 + y)}{y^2}$$ 18. Tomamos logaritmo natural en ambos lados: $$n \ln x = \ln \left( \frac{6(1 + y)}{y^2} \right)$$ 19. Finalmente, despejamos $$n$$: $$n = \frac{\ln \left( \frac{6(1 + y)}{y^2} \right)}{\ln x}$$ 20. Sustituimos los valores de $$y$$ y $$\ln x$$ para obtener el valor numérico de $$n$$. Este es el procedimiento para calcular $$n$$.