1. **Énoncé du problème :** Calculer $a^2$, $b^2$, $a \times b$, puis $(a+b)^2$ et $(a-b)^2$ avec $a = \sqrt{7} + 4\sqrt{3}$ et $b = \sqrt{7} - 4\sqrt{3}$. Justifier que $a+b=4$ et $a-b=2\sqrt{3}$. 2. **Calcul de $a^2$ :** $$a^2 = (\sqrt{7} + 4\sqrt{3})^2 = (\sqrt{7})^2 + 2 \times \sqrt{7} \times 4\sqrt{3} + (4\sqrt{3})^2$$ $$= 7 + 8\sqrt{21} + 16 \times 3 = 7 + 8\sqrt{21} + 48 = 55 + 8\sqrt{21}$$ 3. **Calcul de $b^2$ :** $$b^2 = (\sqrt{7} - 4\sqrt{3})^2 = (\sqrt{7})^2 - 2 \times \sqrt{7} \times 4\sqrt{3} + (4\sqrt{3})^2$$ $$= 7 - 8\sqrt{21} + 48 = 55 - 8\sqrt{21}$$ 4. **Calcul de $a \times b$ :** $$a \times b = (\sqrt{7} + 4\sqrt{3})(\sqrt{7} - 4\sqrt{3}) = (\sqrt{7})^2 - (4\sqrt{3})^2 = 7 - 16 \times 3 = 7 - 48 = -41$$ 5. **Observation sur $a$ et $b$ :** Les expressions de $a^2$ et $b^2$ sont conjuguées, et $a \times b$ est un nombre réel négatif. 6. **Calcul de $(a+b)^2$ :** $$a+b = (\sqrt{7} + 4\sqrt{3}) + (\sqrt{7} - 4\sqrt{3}) = 2\sqrt{7}$$ $$ (a+b)^2 = (2\sqrt{7})^2 = 4 \times 7 = 28$$ 7. **Calcul de $(a-b)^2$ :** $$a-b = (\sqrt{7} + 4\sqrt{3}) - (\sqrt{7} - 4\sqrt{3}) = 8\sqrt{3}$$ $$ (a-b)^2 = (8\sqrt{3})^2 = 64 \times 3 = 192$$ 8. **Justification que $a+b=4$ et $a-b=2\sqrt{3}$ :** Reprenons $a+b$ et $a-b$ en utilisant la relation $a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$. Calculons $a+b$ : $$a+b = \sqrt{7} + 4\sqrt{3} + \sqrt{7} - 4\sqrt{3} = 2\sqrt{7}$$ Mais on veut montrer que $a+b=4$, donc il faut vérifier si $2\sqrt{7} = 4$. Or $2\sqrt{7} \approx 5.29 \neq 4$, donc il y a une erreur dans l'énoncé ou dans l'interprétation. Vérifions $a+b$ en utilisant la relation $a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$ : $$a^2 + b^2 = (55 + 8\sqrt{21}) + (55 - 8\sqrt{21}) = 110$$ $$ab = -41$$ Donc $$(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab = 110 + 2 \times (-41) = 110 - 82 = 28$$ Ce qui confirme que $(a+b)^2 = 28$ et donc $a+b = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$. De même pour $a-b$ : $$(a-b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab = 110 - 2 \times (-41) = 110 + 82 = 192$$ Donc $a-b = \sqrt{192} = 8\sqrt{3}$. Ainsi, les valeurs données $a+b=4$ et $a-b=2\sqrt{3}$ ne correspondent pas aux calculs faits avec $a=\sqrt{7} + 4\sqrt{3}$ et $b=\sqrt{7} - 4\sqrt{3}$. **Conclusion :** - $a^2 = 55 + 8\sqrt{21}$ - $b^2 = 55 - 8\sqrt{21}$ - $a \times b = -41$ - $(a+b)^2 = 28$ donc $a+b = 2\sqrt{7}$ - $(a-b)^2 = 192$ donc $a-b = 8\sqrt{3}$ Les valeurs $a+b=4$ et $a-b=2\sqrt{3}$ ne sont pas correctes avec les définitions données de $a$ et $b$.