1. **Calculer les expressions données :** a. Calculer $A = \sqrt{4^2} + 3^5$ - $4^2 = 16$ - $\sqrt{16} = 4$ - $3^5 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 243$ - Donc, $A = 4 + 243 = 247$ b. Calculer $B = 2\sqrt{20} + \sqrt{45} - 3\sqrt{5}$ - Simplifions chaque racine : $\sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = 2\sqrt{5}$ $\sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = 3\sqrt{5}$ - Remplaçons dans $B$ : $B = 2 \times 2\sqrt{5} + 3\sqrt{5} - 3\sqrt{5} = 4\sqrt{5} + 3\sqrt{5} - 3\sqrt{5}$ - Simplifions : $B = (4 + 3 - 3)\sqrt{5} = 4\sqrt{5}$ c. Calculer $C = \sqrt{6} \times \sqrt{\frac{2}{3}}$ - Utilisons la propriété $\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b}$ - Donc, $C = \sqrt{6 \times \frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{12}{3}} = \sqrt{4} = 2$ d. Calculer $D = \sqrt{10} + \sqrt{36}$ - $\sqrt{36} = 6$ - Donc, $D = \sqrt{10} + 6$ 2. Soit $x$ un nombre réel, on pose : $E = (3x - 5)(3x + 5) + x(3x - 5)$ a) Factoriser $E$. - Remarquons que $(3x - 5)(3x + 5) = (3x)^2 - 5^2 = 9x^2 - 25$ - Donc, $E = 9x^2 - 25 + x(3x - 5) = 9x^2 - 25 + 3x^2 - 5x$ - Regroupons : $E = (9x^2 + 3x^2) - 5x - 25 = 12x^2 - 5x - 25$ - Cherchons à factoriser $E = 12x^2 - 5x - 25$ - Trouvons deux nombres dont le produit est $12 \times (-25) = -300$ et la somme est $-5$. - Ces nombres sont $15$ et $-20$ car $15 \times (-20) = -300$ et $15 + (-20) = -5$. - Réécrivons : $E = 12x^2 + 15x - 20x - 25$ - Regroupons par paires : $E = 3x(4x + 5) - 5(4x + 5)$ - Factorisons par regroupement : $E = (3x - 5)(4x + 5)$ b) Développer et réduire l'expression $E$. - Développons $(3x - 5)(3x + 5) + x(3x - 5)$ : $(3x - 5)(3x + 5) = 9x^2 - 25$ $x(3x - 5) = 3x^2 - 5x$ - Additionnons : $E = 9x^2 - 25 + 3x^2 - 5x = 12x^2 - 5x - 25$ 4. Montrer que : $$\frac{4}{\sqrt{5} - 1} - \frac{5}{\sqrt{5}} = 1$$ - Commençons par rationaliser le dénominateur de la première fraction : $$\frac{4}{\sqrt{5} - 1} \times \frac{\sqrt{5} + 1}{\sqrt{5} + 1} = \frac{4(\sqrt{5} + 1)}{(\sqrt{5})^2 - 1^2} = \frac{4(\sqrt{5} + 1)}{5 - 1} = \frac{4(\sqrt{5} + 1)}{4} = \sqrt{5} + 1$$ - Donc, l'expression devient : $$(\sqrt{5} + 1) - \frac{5}{\sqrt{5}}$$ - Simplifions $\frac{5}{\sqrt{5}}$ : $$\frac{5}{\sqrt{5}} = \frac{5}{\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{5\sqrt{5}}{5} = \sqrt{5}$$ - Donc, l'expression est : $$(\sqrt{5} + 1) - \sqrt{5} = 1$$ 5. On pose : $$F = \frac{1013 \times 10^{-6} \times 2}{5^3 \times 10^{-4} \times 2^3}$$ a) Montrer que : $F = 2026 \times 10^{-5}$ - Calculons le numérateur : $$1013 \times 10^{-6} \times 2 = 2026 \times 10^{-6}$$ - Calculons le dénominateur : $$5^3 = 125$$ $$2^3 = 8$$ $$125 \times 10^{-4} \times 8 = 125 \times 8 \times 10^{-4} = 1000 \times 10^{-4} = 10^{-1}$$ - Donc, $$F = \frac{2026 \times 10^{-6}}{10^{-1}} = 2026 \times 10^{-6} \times 10^{1} = 2026 \times 10^{-5}$$ b) Donner l'écriture scientifique de $F$ : - $2026 = 2.026 \times 10^3$ - Donc, $$F = 2.026 \times 10^3 \times 10^{-5} = 2.026 \times 10^{-2}$$ **Réponses finales :** - $A = 247$ - $B = 4\sqrt{5}$ - $C = 2$ - $D = \sqrt{10} + 6$ - $E$ factorisé : $(3x - 5)(4x + 5)$ - $E$ développé : $12x^2 - 5x - 25$ - Expression de l'exercice 4 égale à $1$ - $F = 2.026 \times 10^{-2}$ en écriture scientifique