1. Énonçons le problème : Montrer que le carré d'un nombre impair est impair. 2. Soit $a$ un nombre impair. Par définition, il existe un entier relatif $k$ tel que $a = 2k + 1$. 3. Calculons le carré de $a$ : $$a^2 = (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1$$ 4. Factorisons les termes pairs : $$a^2 = 2(2k^2 + 2k) + 1$$ 5. Posons $k' = 2k^2 + 2k$. Comme $k$ est un entier, $k'$ est aussi un entier. 6. Donc, on peut écrire : $$a^2 = 2k' + 1$$ 7. Cette forme correspond à la définition d'un nombre impair. Ainsi, le carré d'un nombre impair est impair. --- Méthode : Montrons que le produit de deux entiers consécutifs est pair. Soient $n$ et $n+1$ deux entiers consécutifs. 1er cas : $n$ est pair. Donc il existe un entier $k$ tel que : $$n = 2k$$ Calcul du produit : $$n(n+1) = 2k (2k + 1) = 2k(2k + 1)$$ On voit que $2k$ est un facteur pair, donc : $$n(n+1) = 2(k(2k + 1))$$ Donc $n(n+1)$ est pair. 2ème cas : $n$ est impair. Donc il existe un entier $k$ tel que : $$n = 2k + 1$$ Calcul du produit : $$n(n+1) = (2k + 1)(2k + 2) = (2k + 1)2(k + 1)$$ On peut écrire : $$n(n+1) = 2(k + 1)(2k + 1)$$ Donc $n(n+1)$ est pair. Conclusion : Le produit de deux entiers consécutifs est toujours pair.