1. **Énoncé du problème :** Remplir un carré magique multiplicatif 3×3 avec des puissances de $a$ et $b$ données, de sorte que le produit de chaque ligne, colonne et diagonale soit le même. 2. **Rappel de la propriété d'un carré magique multiplicatif :** Le produit des éléments de chaque ligne, colonne et diagonale est égal à une constante commune, appelée la constante magique. 3. **Données du carré :** $$\begin{matrix} a^{19}b^{16} & ? & a^{15}b^{12} \\ a^{9}b^{6} & a^{13}b^{10} & ? \\ ? & a^{21}b^{18} & a^{7}b^{4} \end{matrix}$$ 4. **Notations :** Soit $x$, $y$, $z$ les termes inconnus dans l'ordre de lecture du tableau : $$\begin{matrix} a^{19}b^{16} & x & a^{15}b^{12} \\ a^{9}b^{6} & a^{13}b^{10} & y \\ z & a^{21}b^{18} & a^{7}b^{4} \end{matrix}$$ 5. **Constante magique :** Appelons $M$ le produit magique commun. 6. **Calcul de $M$ à partir de la première ligne :** $$M = a^{19}b^{16} \times x \times a^{15}b^{12} = x \times a^{19+15}b^{16+12} = x \times a^{34}b^{28}$$ 7. **Calcul de $M$ à partir de la deuxième ligne :** $$M = a^{9}b^{6} \times a^{13}b^{10} \times y = y \times a^{9+13}b^{6+10} = y \times a^{22}b^{16}$$ 8. **Calcul de $M$ à partir de la troisième ligne :** $$M = z \times a^{21}b^{18} \times a^{7}b^{4} = z \times a^{21+7}b^{18+4} = z \times a^{28}b^{22}$$ 9. **Égalité des produits des lignes :** $$x \times a^{34}b^{28} = y \times a^{22}b^{16} = z \times a^{28}b^{22}$$ 10. **Calcul de $M$ à partir de la première colonne :** $$M = a^{19}b^{16} \times a^{9}b^{6} \times z = z \times a^{28}b^{22}$$ 11. **Calcul de $M$ à partir de la deuxième colonne :** $$M = x \times a^{13}b^{10} \times a^{21}b^{18} = x \times a^{34}b^{28}$$ 12. **Calcul de $M$ à partir de la troisième colonne :** $$M = a^{15}b^{12} \times y \times a^{7}b^{4} = y \times a^{22}b^{16}$$ 13. **Égalité des produits des colonnes :** $$z \times a^{28}b^{22} = x \times a^{34}b^{28} = y \times a^{22}b^{16}$$ 14. **Calcul de $M$ à partir de la diagonale principale :** $$M = a^{19}b^{16} \times a^{13}b^{10} \times a^{7}b^{4} = a^{19+13+7}b^{16+10+4} = a^{39}b^{30}$$ 15. **Calcul de $M$ à partir de la diagonale secondaire :** $$M = a^{15}b^{12} \times a^{13}b^{10} \times z = z \times a^{28}b^{22}$$ 16. **Égalité diagonale secondaire et principale :** $$z \times a^{28}b^{22} = a^{39}b^{30} \Rightarrow z = a^{39-28}b^{30-22} = a^{11}b^{8}$$ 17. **Remplaçons $z$ dans l'égalité des lignes :** $$z \times a^{28}b^{22} = M = a^{11}b^{8} \times a^{28}b^{22} = a^{39}b^{30}$$ 18. **De même, pour $x$ et $y$ :** $$x \times a^{34}b^{28} = M = a^{39}b^{30} \Rightarrow x = a^{39-34}b^{30-28} = a^{5}b^{2}$$ $$y \times a^{22}b^{16} = M = a^{39}b^{30} \Rightarrow y = a^{39-22}b^{30-16} = a^{17}b^{14}$$ 19. **Vérification rapide :** - Ligne 1 : $a^{19}b^{16} \times a^{5}b^{2} \times a^{15}b^{12} = a^{39}b^{30}$ - Ligne 2 : $a^{9}b^{6} \times a^{13}b^{10} \times a^{17}b^{14} = a^{39}b^{30}$ - Ligne 3 : $a^{11}b^{8} \times a^{21}b^{18} \times a^{7}b^{4} = a^{39}b^{30}$ 20. **Réponse finale :** $$\begin{matrix} a^{19}b^{16} & a^{5}b^{2} & a^{15}b^{12} \\ a^{9}b^{6} & a^{13}b^{10} & a^{17}b^{14} \\ a^{11}b^{8} & a^{21}b^{18} & a^{7}b^{4} \end{matrix}$$