1. **Énoncé du problème :** Déterminer les réels $a$, $b$, $c$ pour que l'hyperbole $R$ d'équation $$y = \frac{ax + b}{xc}$$ admette le point $\Omega\left(-1, \frac{1}{2}\right)$ comme centre de symétrie. 2. **Rappel et formule :** Le centre de symétrie d'une courbe est un point $\Omega(x_0,y_0)$ tel que pour tout point $M(x,y)$ de la courbe, le point symétrique $M'(2x_0 - x, 2y_0 - y)$ appartient aussi à la courbe. 3. **Application au problème :** L'équation est $$y = \frac{ax + b}{xc}$$ et $\Omega(-1, \frac{1}{2})$ est centre de symétrie. 4. **Condition de symétrie :** Pour $x$, on a $x' = 2(-1) - x = -2 - x$. Pour $y$, on a $y' = 2 \times \frac{1}{2} - y = 1 - y$. 5. **Écrire l'équation pour $x'$ :** $$y' = \frac{a x' + b}{x' c} = \frac{a(-2 - x) + b}{(-2 - x)c}$$ 6. **La symétrie implique :** $$y' = 1 - y = 1 - \frac{ax + b}{xc}$$ 7. **Égaliser les deux expressions de $y'$ :** $$\frac{a(-2 - x) + b}{(-2 - x)c} = 1 - \frac{ax + b}{xc}$$ 8. **Simplifier le membre de droite :** $$1 - \frac{ax + b}{xc} = \frac{xc}{xc} - \frac{ax + b}{xc} = \frac{xc - (ax + b)}{xc} = \frac{xc - ax - b}{xc}$$ 9. **Équation à résoudre :** $$\frac{a(-2 - x) + b}{(-2 - x)c} = \frac{xc - ax - b}{xc}$$ 10. **Croiser les produits :** $$(a(-2 - x) + b) \times (xc) = (xc - ax - b) \times ((-2 - x)c)$$ 11. **Développer chaque côté :** Gauche : $$a(-2 - x)xc + bxc = a x c (-2 - x) + b x c$$ Droite : $$(x c - a x - b)(-2 - x) c$$ 12. **Simplifier et organiser :** Gauche : $$a x c (-2 - x) + b x c = a x c (-2) - a x^2 c + b x c = -2 a x c - a x^2 c + b x c$$ Droite : $$c (x c - a x - b)(-2 - x) = c \left[ (x c)(-2 - x) - a x (-2 - x) - b (-2 - x) \right]$$ 13. **Développer le contenu entre crochets :** $$(x c)(-2 - x) = -2 x c - x^2 c$$ $$- a x (-2 - x) = 2 a x + a x^2$$ $$- b (-2 - x) = 2 b + b x$$ 14. **Sommer :** $$-2 x c - x^2 c + 2 a x + a x^2 + 2 b + b x$$ 15. **Multiplier par $c$ :** $$c(-2 x c - x^2 c + 2 a x + a x^2 + 2 b + b x) = -2 x c^2 - x^2 c^2 + 2 a x c + a x^2 c + 2 b c + b x c$$ 16. **Égaliser les deux expressions :** $$-2 a x c - a x^2 c + b x c = -2 x c^2 - x^2 c^2 + 2 a x c + a x^2 c + 2 b c + b x c$$ 17. **Simplifier en soustrayant $b x c$ des deux côtés :** $$-2 a x c - a x^2 c = -2 x c^2 - x^2 c^2 + 2 a x c + a x^2 c + 2 b c$$ 18. **Rassembler tous les termes à gauche :** $$-2 a x c - a x^2 c - (-2 x c^2 - x^2 c^2 + 2 a x c + a x^2 c + 2 b c) = 0$$ 19. **Développer le signe négatif :** $$-2 a x c - a x^2 c + 2 x c^2 + x^2 c^2 - 2 a x c - a x^2 c - 2 b c = 0$$ 20. **Regrouper termes semblables :** Pour $x$ : $$-2 a x c - 2 a x c + 2 x c^2 = -4 a x c + 2 x c^2$$ Pour $x^2$ : $$- a x^2 c - a x^2 c + x^2 c^2 = -2 a x^2 c + x^2 c^2$$ Constantes : $$- 2 b c$$ 21. **Équation finale :** $$-4 a x c + 2 x c^2 - 2 a x^2 c + x^2 c^2 - 2 b c = 0$$ 22. **Pour que cette égalité soit vraie pour tout $x$, les coefficients de chaque puissance de $x$ doivent être nuls :** - Coefficient de $x^2$ : $$-2 a c + c^2 = 0 \Rightarrow c^2 = 2 a c$$ - Coefficient de $x$ : $$-4 a c + 2 c^2 = 0 \Rightarrow 2 c^2 = 4 a c$$ - Terme constant : $$-2 b c = 0 \Rightarrow b = 0 \text{ ou } c = 0$$ 23. **Analyser les équations :** De la première : $$c^2 = 2 a c \Rightarrow c (c - 2 a) = 0$$ Donc soit $$c = 0$$ soit $$c = 2 a$$ De la deuxième : $$2 c^2 = 4 a c \Rightarrow c^2 = 2 a c$$ C'est la même que la première, donc pas d'information supplémentaire. 24. **Cas 1 : $c = 0$** L'équation devient $y = \frac{a x + b}{0}$, ce qui est impossible. Donc $c \neq 0$. 25. **Cas 2 : $c = 2 a$** Alors $b = 0$ (car $-2 b c = 0$ et $c \neq 0$). 26. **Conclusion :** Les réels $a$, $b$, $c$ vérifient : $$c = 2 a, \quad b = 0$$ Le triplet $(a, 0, 2 a)$ avec $a \neq 0$ convient. **Réponse finale :** $$\boxed{b = 0, \quad c = 2 a, \quad a \in \mathbb{R}^*}$$