1. **Énoncé du problème** : On veut vérifier si la matrice $A$ est symétrique et définie positive. 2. **Symétrie** : Une matrice est symétrique si elle est égale à sa transposée, c'est-à-dire $A^T = A$. 3. **Définie positive** : Une matrice est définie positive si tous ses mineurs principaux (les déterminants des sous-matrices carrées en haut à gauche) sont strictement positifs. 4. **Calcul des mineurs principaux** : - $\Delta_1 = \det\begin{pmatrix}1\end{pmatrix} = 1 > 0$ - $\Delta_2 = \det\begin{pmatrix}1 & -1 \\ -1 & 5\end{pmatrix} = (1)(5) - (-1)(-1) = 5 - 1 = 4 > 0$ - $\Delta_3 = \det\begin{pmatrix}1 & -1 & 2 \\ -1 & 5 & -6 \\ 2 & -4 & 6\end{pmatrix}$ 5. **Calcul détaillé de $\Delta_3$** : Utilisons la règle de Sarrus pour une matrice $3 \times 3$ : $$\Delta_3 = (1 \times 5 \times 6) + (-1 \times -6 \times 2) + (2 \times -1 \times -4) - (2 \times 5 \times 2) - (6 \times -1 \times 1) - (1 \times -6 \times -4)$$ Calculons chaque terme : - $1 \times 5 \times 6 = 30$ - $-1 \times -6 \times 2 = 12$ - $2 \times -1 \times -4 = 8$ - $2 \times 5 \times 2 = 20$ - $6 \times -1 \times 1 = -6$ - $1 \times -6 \times -4 = 24$ Donc : $$\Delta_3 = (30 + 12 + 8) - (20 + (-6) + 24) = 50 - 38 = 12 > 0$$ 6. **Conclusion** : Tous les mineurs principaux sont positifs, donc la matrice $A$ est définie positive. 7. **Conséquence** : Comme $A$ est symétrique et définie positive, il existe une matrice triangulaire inférieure $L$ telle que $A = LL^T$ (c'est la décomposition de Cholesky).