1. Problem 2.98: Klient banku spłacił pożyczkę w wysokości 13923 w czterech ratach, z których każda następna była o 10% większa od poprzedniej. Oblicz kwotę pierwszej i czwartej raty. 2. Wzór na sumę n wyrazów ciągu geometrycznego to: $$S_n = a_1 \frac{q^n - 1}{q - 1}$$ 3. Tutaj mamy: - suma rat $S_4 = 13923$ - iloraz ciągu $q = 1{,}10$ - liczba rat $n = 4$ 4. Podstawiamy do wzoru: $$13923 = a_1 \frac{1{,}1^4 - 1}{1{,}1 - 1}$$ 5. Obliczamy: $$1{,}1^4 = 1{,}4641$$ $$\frac{1{,}4641 - 1}{0{,}1} = \frac{0{,}4641}{0{,}1} = 4{,}641$$ 6. Zatem: $$13923 = a_1 \cdot 4{,}641 \Rightarrow a_1 = \frac{13923}{4{,}641} \approx 3000$$ 7. Pierwsza rata wynosi około 3000. 8. Czwarta rata to: $$a_4 = a_1 \cdot q^{3} = 3000 \cdot 1{,}1^{3} = 3000 \cdot 1{,}331 = 3993$$ --- 1. Problem 2.100: Ciąg $(a_n)$ jest nieskończonym ciągiem geometrycznym, w którym $a_3 = -0{,}36$ oraz $a_6 = -1 \cdot \frac{2}{3} = -\frac{2}{3}$. Wykaż, że ciąg jest malejący i wyznacz ogólny wyraz ciągu. 2. Wzór ogólny ciągu geometrycznego: $$a_n = a_1 q^{n-1}$$ 3. Dane: $$a_3 = a_1 q^{2} = -0{,}36$$ $$a_6 = a_1 q^{5} = -\frac{2}{3}$$ 4. Dzielimy $a_6$ przez $a_3$: $$\frac{a_6}{a_3} = \frac{a_1 q^{5}}{a_1 q^{2}} = q^{3} = \frac{-\frac{2}{3}}{-0{,}36} = \frac{\frac{2}{3}}{0{,}36}$$ 5. Obliczamy: $$\frac{2/3}{0{,}36} = \frac{2/3}{36/100} = \frac{2}{3} \cdot \frac{100}{36} = \frac{200}{108} = \frac{50}{27}$$ 6. Zatem: $$q^{3} = \frac{50}{27}$$ 7. Pierwiastek sześcienny: $$q = \sqrt[3]{\frac{50}{27}} = \frac{\sqrt[3]{50}}{3}$$ 8. Obliczamy $a_1$ z $a_3$: $$a_1 = \frac{a_3}{q^{2}} = \frac{-0{,}36}{\left(\frac{\sqrt[3]{50}}{3}\right)^2} = -0{,}36 \cdot \frac{9}{\sqrt[3]{50}^2} = -3{,}24 \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{50}^2}$$ 9. Ciąg jest malejący, jeśli $q < 1$ i $a_1 > 0$ lub $q > 1$ i $a_1 < 0$. Tutaj $q > 1$ (bo $\frac{50}{27} > 1$), a $a_1 < 0$, więc ciąg jest malejący. 10. Ogólny wyraz: $$a_n = a_1 q^{n-1} = -3{,}24 \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{50}^2} \cdot \left(\frac{\sqrt[3]{50}}{3}\right)^{n-1}$$ --- 1. Problem 2.111: Wykaż, że ciąg $$b_n = 2^{\frac{1+2+3+...+n}{n}}$$ jest geometryczny i podaj pierwszy wyraz oraz iloraz. 2. Suma pierwszych n liczb naturalnych: $$1 + 2 + ... + n = \frac{n(n+1)}{2}$$ 3. Zatem: $$b_n = 2^{\frac{\frac{n(n+1)}{2}}{n}} = 2^{\frac{n+1}{2}}$$ 4. Możemy zapisać: $$b_n = 2^{\frac{1}{2}n + \frac{1}{2}} = 2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{2}n} = \sqrt{2} \cdot (\sqrt{2})^{n}$$ 5. To jest ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie: $$b_1 = \sqrt{2} \cdot (\sqrt{2})^{1} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2$$ 6. Iloraz ciągu to: $$q = \sqrt{2}$$