1. **Déterminer la fonction du revenu et sa forme** Le propriétaire attire 200 spectateurs à un prix de 3,50 et 70 spectateurs de plus si le prix baisse. On suppose une relation linéaire entre le prix $p$ et le nombre de spectateurs $n$. 2. **Trouver la relation entre le prix du billet et le nombre de spectateurs** Soit $p$ le prix du billet et $n$ le nombre de spectateurs. À $p=3,50$, $n=200$. Si le prix baisse de 1 euro, le nombre de spectateurs augmente de 70. La pente est donc $\frac{70}{-1} = -70$ spectateurs par euro. L'équation est donc $n = -70p + b$. Pour trouver $b$, on utilise le point $(3.5, 200)$: $$200 = -70 \times 3.5 + b \Rightarrow b = 200 + 245 = 445$$ Donc la relation est: $$n(p) = -70p + 445$$ 3. **Établir la fonction revenu maximum** Le revenu $R$ est le produit du prix par le nombre de spectateurs: $$R(p) = p \times n(p) = p(-70p + 445) = -70p^2 + 445p$$ 4. **Quel prix génère le revenu maximum ?** La fonction $R(p)$ est une parabole concave vers le bas. Le maximum est atteint au sommet: $$p_{max} = -\frac{b}{2a} = -\frac{445}{2 \times (-70)} = \frac{445}{140} = 3.18$$ 5. **Quel est le revenu maximum ?** Calculons $R(3.18)$: $$R(3.18) = -70 \times (3.18)^2 + 445 \times 3.18 = -70 \times 10.11 + 1415.1 = -707.7 + 1415.1 = 707.4$$ Le revenu maximum est environ 707.4. 6. **Quel est le prix pour accueillir 850 spectateurs ?** On cherche $p$ tel que $n(p) = 850$: $$850 = -70p + 445 \Rightarrow -70p = 850 - 445 = 405 \Rightarrow p = -\frac{405}{70} = -5.79$$ Ce prix est négatif, donc impossible. Le cinéma ne peut pas accueillir 850 spectateurs avec cette relation. 7. **Si la salle de cinéma a un nombre maximum de places, quel est le prix permettant de vendre toutes les places ?** Supposons que la capacité maximale est $n_{max}$. Pour vendre toutes les places: $$n_{max} = -70p + 445 \Rightarrow p = \frac{445 - n_{max}}{70}$$ Sans la capacité exacte, on ne peut pas calculer ce prix. --- **Exercice 10. Résoudre les systèmes d'équations** 1) Système 2 équations 2 inconnues: $$\begin{cases} x + 2y = 3 \\ x - y = -2 \end{cases}$$ Soustrayons la deuxième de la première: $$ (x + 2y) - (x - y) = 3 - (-2) \Rightarrow 3y = 5 \Rightarrow y = \frac{5}{3}$$ Puis: $$x - \frac{5}{3} = -2 \Rightarrow x = -2 + \frac{5}{3} = -\frac{6}{3} + \frac{5}{3} = -\frac{1}{3}$$ Solution: $x = -\frac{1}{3}$, $y = \frac{5}{3}$. 2) Système 3 équations 3 inconnues: $$\begin{cases} 16x + 14y + 18z = 302 \\ 13x + 1.8y + 2.2z = 33.6 \\ 0.6x + 0.8y + z = 15.2 \end{cases}$$ Utilisons la troisième pour exprimer $z$: $$z = 15.2 - 0.6x - 0.8y$$ Substituons dans les deux premières: $$16x + 14y + 18(15.2 - 0.6x - 0.8y) = 302$$ $$13x + 1.8y + 2.2(15.2 - 0.6x - 0.8y) = 33.6$$ Simplifions: $$16x + 14y + 273.6 - 10.8x - 14.4y = 302 \Rightarrow 5.2x - 0.4y = 28.4$$ $$13x + 1.8y + 33.44 - 1.32x - 1.76y = 33.6 \Rightarrow 11.68x + 0.04y = 0.16$$ Résolvons ce système: Multiplions la deuxième équation par 10: $$116.8x + 0.4y = 1.6$$ Additionnons avec la première multipliée par 1: $$5.2x - 0.4y = 28.4$$ Addition: $$122x = 30$$ $$x = \frac{30}{122} = 0.2459$$ Substituons dans la première: $$5.2 \times 0.2459 - 0.4y = 28.4 \Rightarrow 1.279 - 0.4y = 28.4 \Rightarrow -0.4y = 27.121 \Rightarrow y = -67.8$$ Puis: $$z = 15.2 - 0.6 \times 0.2459 - 0.8 \times (-67.8) = 15.2 - 0.1475 + 54.24 = 69.29$$ Solution approximative: $x=0.246$, $y=-67.8$, $z=69.29$. --- **Exercice 11. Représenter graphiquement les droites et déterminer leur point d'intersection** Équations: $$3x - 2y = 1$$ $$3y + 5x + 1 = 0$$ Isolons $y$ dans la première: $$3x - 2y = 1 \Rightarrow -2y = 1 - 3x \Rightarrow y = \frac{3x - 1}{2}$$ Dans la deuxième: $$3y + 5x + 1 = 0 \Rightarrow 3y = -5x -1 \Rightarrow y = -\frac{5}{3}x - \frac{1}{3}$$ Égalisons: $$\frac{3x - 1}{2} = -\frac{5}{3}x - \frac{1}{3}$$ Multipliant par 6: $$3(3x - 1) = -10x - 2$$ $$9x - 3 = -10x - 2$$ $$9x + 10x = -2 + 3 \Rightarrow 19x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{19}$$ Puis: $$y = \frac{3 \times \frac{1}{19} - 1}{2} = \frac{\frac{3}{19} - 1}{2} = \frac{-\frac{16}{19}}{2} = -\frac{8}{19}$$ Le point d'intersection est $\left(\frac{1}{19}, -\frac{8}{19}\right)$. --- **Exercice 12. Prix de revente d'une toile selon une échelle linéaire** Diane vend une toile achetée 170 à 270 et une autre achetée 180 à un prix inconnu. On cherche le prix de revente d'une toile achetée 125. Supposons la relation linéaire: $$y = ax + b$$ avec $x$ le prix d'achat et $y$ le prix de revente. Points connus: $(170, 270)$ et $(180, y_2)$ On sait que la toile achetée 180 a été revendue à 270, donc $y_2 = 270$. Calculons la pente: $$a = \frac{270 - 270}{180 - 170} = 0$$ Donc $y = b$ constant, ce qui est incohérent. Supposons que la toile achetée 180 a été revendue à un autre prix, disons $y_2$ inconnu. Sans cette donnée, on ne peut pas déterminer $a$ et $b$. Si on suppose que la toile achetée 170 a été revendue à 270 et la toile achetée 180 à 280 (exemple), alors: $$a = \frac{280 - 270}{180 - 170} = \frac{10}{10} = 1$$ $$b = 270 - 1 \times 170 = 100$$ Alors pour $x=125$: $$y = 1 \times 125 + 100 = 225$$ Le prix de revente serait 225. ---