1. Énoncé du problème : Pour tout réel $a > 0$, justifier que $$a - \frac{1}{a} = \frac{(a - 1)(a + 1)}{a}$$ 2. Justification : On part de l'expression $a - \frac{1}{a}$. Pour mettre au même dénominateur, on écrit : $$a - \frac{1}{a} = \frac{a^2}{a} - \frac{1}{a} = \frac{a^2 - 1}{a}$$ On reconnaît une différence de carrés : $$a^2 - 1 = (a - 1)(a + 1)$$ Donc : $$a - \frac{1}{a} = \frac{(a - 1)(a + 1)}{a}$$ 3. Comparaison de $a$ et $\frac{1}{a}$ selon les valeurs de $a$ : - Si $a > 1$, alors $a - \frac{1}{a} > 0$ car $a - 1 > 0$ et $a + 1 > 0$, donc $a > \frac{1}{a}$. - Si $0 < a < 1$, alors $a - 1 < 0$ mais $a + 1 > 0$, donc $(a - 1)(a + 1) < 0$ et ainsi $a - \frac{1}{a} < 0$, donc $a < \frac{1}{a}$. - L'égalité $a = \frac{1}{a}$ se produit lorsque $a - \frac{1}{a} = 0$, c'est-à-dire lorsque $(a - 1)(a + 1) = 0$, donc $a = 1$ (car $a > 0$). 4. Applications : comparer les nombres suivants : α. Comparer $\alpha = \pi$ et $\frac{1}{\pi}$ : Comme $\pi \approx 3.14 > 1$, on a $\pi > \frac{1}{\pi}$. b. Comparer $\frac{1}{0.7}$ et $0.7$ : $0.7 < 1$, donc $0.7 < \frac{1}{0.7} \approx 1.428$, donc $\frac{1}{0.7} > 0.7$. c. Comparer $\frac{1}{\sqrt{2} + 1}$ et $\sqrt{2} + 1$ : On note $a = \sqrt{2} + 1 > 1$, donc $a > \frac{1}{a}$, donc $\sqrt{2} + 1 > \frac{1}{\sqrt{2} + 1}$. d. Comparer $\frac{1}{\sqrt{5} - 2}$ et $\sqrt{5} - 2$ : Calculons $a = \sqrt{5} - 2$. $\sqrt{5} \approx 2.236$, donc $a \approx 0.236 > 0$ et $a < 1$. Donc $a < \frac{1}{a}$, donc $\sqrt{5} - 2 < \frac{1}{\sqrt{5} - 2}$. \textbf{Résumé} : - Pour $a > 1$, $a > \frac{1}{a}$. - Pour $0 < a < 1$, $a < \frac{1}{a}$. - Pour $a = 1$, $a = \frac{1}{a}$.