1. Énoncé du problème : Comparer $a$ et $\frac{1}{a}$ pour $a > 0$. 2. Justification de l'identité : Montrons que $$a - \frac{1}{a} = \frac{(a - 1)(a + 1)}{a}.$$ En effet, $$a - \frac{1}{a} = \frac{a^2}{a} - \frac{1}{a} = \frac{a^2 - 1}{a} = \frac{(a - 1)(a + 1)}{a}.$$ 3. Comparaison de $a$ et $\frac{1}{a}$ selon les valeurs de $a$ : - Si $a > 1$, alors $a - 1 > 0$ et $a + 1 > 0$, donc $(a - 1)(a + 1) > 0$. - Comme $a > 0$, le dénominateur $a$ est positif. - Donc $a - \frac{1}{a} = \frac{(a - 1)(a + 1)}{a} > 0$, ce qui implique $a > \frac{1}{a}$. - Si $0 < a < 1$, alors $a - 1 < 0$ et $a + 1 > 0$, donc $(a - 1)(a + 1) < 0$. - Avec $a > 0$, on a $a - \frac{1}{a} < 0$, donc $a < \frac{1}{a}$. - L'égalité $a = \frac{1}{a}$ se produit lorsque $$a - \frac{1}{a} = 0 \implies (a - 1)(a + 1) = 0 \implies a = 1 \text{ (car } a > 0).$$ 4. Applications : Comparons les nombres donnés. α. Comparaison de $\alpha = \pi$ et $\frac{1}{\pi}$ : - Comme $\pi \approx 3.14 > 1$, on a $\pi > \frac{1}{\pi}$. b. Comparaison de $\frac{1}{0.7}$ et $0.7$ : - $0.7 < 1$, donc $0.7 < \frac{1}{0.7} \approx 1.428$. c. Comparaison de $\frac{1}{\sqrt{2} + 1}$ et $\sqrt{2} + 1$ : - $\sqrt{2} \approx 1.414$, donc $\sqrt{2} + 1 \approx 2.414 > 1$. - Donc $\sqrt{2} + 1 > \frac{1}{\sqrt{2} + 1}$. d. Comparaison de $\frac{1}{\sqrt{5} - 2}$ et $\sqrt{5} - 2$ : - $\sqrt{5} \approx 2.236$, donc $\sqrt{5} - 2 \approx 0.236 > 0$ et $< 1$. - Donc $\sqrt{5} - 2 < \frac{1}{\sqrt{5} - 2} \approx 4.236$. Réponse finale : - Pour $a > 1$, $a > \frac{1}{a}$. - Pour $0 < a < 1$, $a < \frac{1}{a}$. - Égalité si et seulement si $a = 1$.