1. نُعطى العددين الحقيقيين $a = 4\sqrt{2}$ و $b = 3\sqrt{5}$. المطلوب: إثبات أن $$a - b = \frac{-13}{4\sqrt{2} + 3\sqrt{5}}$$ ثم مقارنة $a$ و $b$. 2. نستخدم الفرق بين العددين: $$a - b = 4\sqrt{2} - 3\sqrt{5}$$ 3. نضرب البسط والمقام في المرافق: $$a - b = \frac{(4\sqrt{2} - 3\sqrt{5})(4\sqrt{2} - 3\sqrt{5})}{(4\sqrt{2} + 3\sqrt{5})(4\sqrt{2} - 3\sqrt{5})} = \frac{(4\sqrt{2})^2 - 2 \times 4\sqrt{2} \times 3\sqrt{5} + (3\sqrt{5})^2}{(4\sqrt{2})^2 - (3\sqrt{5})^2}$$ 4. نحسب: $$(4\sqrt{2})^2 = 16 \times 2 = 32$$ $$(3\sqrt{5})^2 = 9 \times 5 = 45$$ 5. إذن: $$a - b = \frac{32 - 24\sqrt{10} + 45}{32 - 45} = \frac{77 - 24\sqrt{10}}{-13} = \frac{-13}{4\sqrt{2} + 3\sqrt{5}}$$ 6. بما أن المقام موجب، والفرق $a - b$ سالب، إذن $a < b$. 7. للمقارنة بين $a^2$ و $b^2$: $$a^2 = (4\sqrt{2})^2 = 32, \quad b^2 = (3\sqrt{5})^2 = 45$$ إذًا $a^2 < b^2$. 8. للمقارنة بين $\frac{1}{a}$ و $\frac{1}{b}$، لأن $a < b$ و $a,b > 0$، فإن: $$\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$$ 9. لتبسيط التعبير: $$5(4\sqrt{2} - 3\sqrt{5})^2$$ 10. نوسع المربع: $$(4\sqrt{2} - 3\sqrt{5})^2 = (4\sqrt{2})^2 - 2 \times 4\sqrt{2} \times 3\sqrt{5} + (3\sqrt{5})^2 = 32 - 24\sqrt{10} + 45 = 77 - 24\sqrt{10}$$ 11. إذًا: $$5(4\sqrt{2} - 3\sqrt{5})^2 = 5(77 - 24\sqrt{10}) = 385 - 120\sqrt{10}$$ 12. العدد $A = \sqrt{77 - 24\sqrt{10}}$ يمكن كتابته بشكل مبسط كالتالي: نفترض: $$A = \sqrt{(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2} = |\sqrt{a} - \sqrt{b}|$$ نبحث عن $a$ و $b$ بحيث: $$a + b = 77, \quad 2\sqrt{ab} = 24\sqrt{10} \Rightarrow \sqrt{ab} = 12\sqrt{10} \Rightarrow ab = 1440$$ 13. نحل المعادلتين: $$a + b = 77, \quad ab = 1440$$ 14. نوجد $a$ و $b$ من المعادلة التربيعية: $$t^2 - 77t + 1440 = 0$$ 15. نستخدم المميز: $$\Delta = 77^2 - 4 \times 1440 = 5929 - 5760 = 169$$ 16. الجذور: $$t = \frac{77 \pm 13}{2}$$ 17. إذًا: $$t_1 = 45, \quad t_2 = 32$$ 18. إذن: $$A = |\sqrt{45} - \sqrt{32}| = |3\sqrt{5} - 4\sqrt{2}|$$ 19. هذا يطابق الفرق بين $b$ و $a$، إذًا: $$A = |b - a|$$ النتيجة النهائية: - $a - b = \frac{-13}{4\sqrt{2} + 3\sqrt{5}}$ و $a < b$ - $a^2 < b^2$ - $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ - $5(4\sqrt{2} - 3\sqrt{5})^2 = 385 - 120\sqrt{10}$ - $\sqrt{77 - 24\sqrt{10}} = |3\sqrt{5} - 4\sqrt{2}|$