1. **Énoncé du problème :** Comparer $3\sqrt{5}$ et $4\sqrt{3}$. 2. **Formule et règles importantes :** Pour comparer deux nombres positifs sous forme $a\sqrt{b}$, on peut comparer leurs carrés car la fonction $f(x) = x^2$ est strictement croissante pour $x \geq 0$. 3. **Calcul des carrés :** $$ (3\sqrt{5})^2 = 9 \times 5 = 45 $$ $$ (4\sqrt{3})^2 = 16 \times 3 = 48 $$ 4. **Comparaison :** Comme $45 < 48$, on a $3\sqrt{5} < 4\sqrt{3}$. 5. **Problème suivant :** Comparer $\frac{1+3\sqrt{5}}{-5}$ et $\frac{1+4\sqrt{3}}{-5}$. 6. **Remarque :** Le dénominateur est négatif, donc l'inégalité s'inverse quand on multiplie par $-5$. 7. **Comparer les numérateurs :** $$ 1 + 3\sqrt{5} \approx 1 + 3 \times 2.236 = 1 + 6.708 = 7.708 $$ $$ 1 + 4\sqrt{3} \approx 1 + 4 \times 1.732 = 1 + 6.928 = 7.928 $$ 8. **Comme $7.708 < 7.928$, alors** $$ \frac{1+3\sqrt{5}}{-5} > \frac{1+4\sqrt{3}}{-5} $$ **Réponse finale :** - $3\sqrt{5} < 4\sqrt{3}$ - $\frac{1+3\sqrt{5}}{-5} > \frac{1+4\sqrt{3}}{-5}$