1. نبدأ بحل السؤال الأول: إذا كان التعبيران $ (ص - 4 ت)(5 + س ت) $ مترافقين، و $س، ص \in \mathbb{R}$، نريد إيجاد قيمة $س + ص$. 2. التعبيران المترافقان يعني أن أحدهما هو المرافق العقدي للآخر، أي إذا كان $z = a + bi$ فإن مرافقه هو $\overline{z} = a - bi$. 3. نكتب التعبير الأول: $$ (ص - 4 ت)(5 + س ت) = 5ص + ص س ت - 20 ت - 4 س ت^2 $$ 4. نعلم أن $ت^2 = -1$ لأن $ت$ هو الوحدة التخيلية. إذن: $$ 5ص + ص س ت - 20 ت - 4 س (-1) = 5ص + ص س ت - 20 ت + 4 س $$ 5. نرتب التعبير: $$ (5ص + 4 س) + (ص س - 20) ت $$ 6. التعبير المترافق له هو: $$ (5ص + 4 س) - (ص س - 20) ت $$ 7. بما أن التعبيرين مترافقين، فإن: $$ (ص - 4 ت)(5 + س ت) = (5ص + 4 س) + (ص س - 20) ت $$ 8. نساوي الجزء التخيلي في التعبير الأول مع الجزء التخيلي في التعبير الثاني مع إشارة معاكسة: $$ ص س - 20 = -(ص س - 20) \Rightarrow ص س - 20 = -ص س + 20 $$ 9. نجمع الحدود: $$ 2 ص س = 40 \Rightarrow ص س = 20 $$ 10. نساوي الجزء الحقيقي: $$ 5ص + 4 س = 5ص + 4 س $$ 11. نريد إيجاد $س + ص$. من المعادلة $ص س = 20$، نبحث عن قيم $س$ و $ص$ بحيث يكون $س + ص$ من الخيارات $[-1, -9, 1, 6]$. 12. نجرب القيم: - إذا كان $س + ص = 6$، ونفرض $ص = 6 - س$، إذن: $$ س (6 - س) = 20 \Rightarrow 6 س - س^2 = 20 \Rightarrow س^2 - 6 س + 20 = 0 $$ 13. المعادلة التربيعية ليس لها جذور حقيقية، إذن $6$ غير صحيح. 14. نجرب $س + ص = 1$: $$ ص = 1 - س \Rightarrow س (1 - س) = 20 \Rightarrow س - س^2 = 20 \Rightarrow س^2 - س + 20 = 0 $$ 15. لا جذور حقيقية أيضاً. 16. نجرب $س + ص = -1$: $$ ص = -1 - س \Rightarrow س (-1 - س) = 20 \Rightarrow -س - س^2 = 20 \Rightarrow س^2 + س + 20 = 0 $$ 17. لا جذور حقيقية. 18. نجرب $س + ص = -9$: $$ ص = -9 - س \Rightarrow س (-9 - س) = 20 \Rightarrow -9 س - س^2 = 20 \Rightarrow س^2 + 9 س + 20 = 0 $$ 19. نحل المعادلة: $$ \Delta = 9^2 - 4 \times 1 \times 20 = 81 - 80 = 1 $$ $$ س = \frac{-9 \pm 1}{2} $$ 20. الجذور: $$ س_1 = \frac{-9 + 1}{2} = -4 $$ $$ س_2 = \frac{-9 - 1}{2} = -5 $$ 21. إذاً: $$ ص_1 = -9 - (-4) = -5 $$ $$ ص_2 = -9 - (-5) = -4 $$ 22. تحقق: $$ س_1 ص_1 = (-4)(-5) = 20 $$ 23. إذن قيمة $س + ص = -9$. **الجواب للسؤال الأول:** $-9$. --- 24. السؤال الثاني: إذا كان $6 ن ر = 120$ و $ن ل ر - 4 ت ق ر = 112$، نريد إيجاد قيمة $ن$ و $ر$. 25. من المعادلة الأولى: $$ 6 ن ر = 120 \Rightarrow ن ر = \frac{120}{6} = 20 $$ 26. المعادلة الثانية: $$ ن ل ر - 4 ت ق ر = 112 $$ 27. بدون معلومات إضافية عن $ل$ و $ت$ و $ق$، لا يمكن إيجاد قيم $ن$ و $ر$ بدقة. **نحتاج مزيد من المعلومات لحل السؤال الثاني.** --- 28. السؤال الثالث 1): عدد طرق ترتيب $ن$ من الطلبة حول طاولة مستديرة يساوي 24 طريقة، نريد إيجاد $ن$. 29. عدد الترتيبات حول طاولة مستديرة هو: $$ (ن - 1)! = 24 $$ 30. نبحث عن $ن$ بحيث: $$ (ن - 1)! = 24 $$ 31. نعلم أن: $$ 4! = 24 $$ 32. إذن: $$ ن - 1 = 4 \Rightarrow ن = 5 $$ 33. إثبات: عدد الترتيبات لخمسة طلبة حول طاولة مستديرة هو: $$ (5 - 1)! = 4! = 24 $$ --- 34. السؤال الثالث 2): إذا كان $ع_1 = 5 + ت$ و $ع_2 = -3 ت$، نريد إيجاد $ع_1$ و $ع_2$. 35. بما أن $ت$ هو الوحدة التخيلية، نكتب: $$ ع_1 = 5 + ت $$ $$ ع_2 = -3 ت $$ 36. هذه هي القيم المطلوبة. --- 37. السؤال الرابع: بكم طريقة يمكن اختيار رئيس ونائب من بين عشرة؟ 38. نستخدم التوافيق لأن الترتيب مهم (رئيس ثم نائب): $$ \text{عدد الطرق} = 10 \times 9 = 90 $$ **الجواب:** 90 طريقة.