1. Diketahui elips dengan sumbu panjang 12 dan eksentrisitas $e=\frac{2}{3}$, serta titik apinya pada sumbu X dan simetris terhadap titik O. 2. Tentukan persamaan elips tersebut. 3. Diketahui persamaan elips umum adalah $$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$ dengan $a$ adalah setengah sumbu panjang dan $b$ setengah sumbu pendek. 4. Karena sumbu panjang 12, maka $2a=12 \Rightarrow a=6$. 5. Eksentrisitas $e=\frac{c}{a} = \frac{2}{3}$, sehingga $c = a e = 6 \times \frac{2}{3} = 4$. 6. Hubungan antara $a$, $b$, dan $c$ adalah $$c^2 = a^2 - b^2 \Rightarrow b^2 = a^2 - c^2 = 36 - 16 = 20$$. 7. Jadi persamaan elipsnya adalah $$\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{20} = 1$$. --- 8. Persamaan elips yang diberikan adalah $$x^2 + 6y^2 = 10$$. 9. Bentuk standar: $$\frac{x^2}{10} + \frac{y^2}{\frac{10}{6}} = 1$$. 10. Gradien garis singgung elips di titik $(x_0,y_0)$ adalah $$m = -\frac{b^2 x_0}{a^2 y_0} = -\frac{\frac{10}{6} x_0}{10 y_0} = -\frac{x_0}{6 y_0}$$. 11. Garis yang tegak lurus terhadap $$x + 2y + 6 = 0$$ memiliki gradien $$m_1 = -\frac{1}{2}$$, sehingga gradien garis singgung elips harus $$m = 2$$. 12. Dari $$m = -\frac{x_0}{6 y_0} = 2 \Rightarrow -\frac{x_0}{6 y_0} = 2 \Rightarrow x_0 = -12 y_0$$. 13. Substitusi ke elips: $$x_0^2 + 6 y_0^2 = 10 \Rightarrow (-12 y_0)^2 + 6 y_0^2 = 10 \Rightarrow 144 y_0^2 + 6 y_0^2 = 10 \Rightarrow 150 y_0^2 = 10 \Rightarrow y_0^2 = \frac{1}{15}$$. 14. Jadi $$y_0 = \pm \frac{1}{\sqrt{15}}$$ dan $$x_0 = -12 y_0 = \mp \frac{12}{\sqrt{15}}$$. 15. Persamaan garis singgung di titik $(x_0,y_0)$ adalah $$y - y_0 = m (x - x_0)$$ dengan $$m=2$$. 16. Jadi dua garis singgung: $$y - \frac{1}{\sqrt{15}} = 2 \left(x + \frac{12}{\sqrt{15}}\right)$$ dan $$y + \frac{1}{\sqrt{15}} = 2 \left(x - \frac{12}{\sqrt{15}}\right)$$. --- 17. Parabola dengan puncak di $(4,-3)$ dan fokus pada garis vertikal, jarak puncak ke fokus $=5$. 18. Karena fokus di garis vertikal, parabola membuka ke atas atau ke bawah. 19. Jarak fokus ke puncak adalah $$|p|=5$$, sehingga $$p=5$$ atau $$p=-5$$. 20. Persamaan parabola dengan puncak di $(h,k)$ dan fokus di atas/bawah adalah $$ (x - h)^2 = 4p (y - k) $$. 21. Jadi persamaan parabola: - Jika fokus di atas: $$ (x - 4)^2 = 20 (y + 3) $$ - Jika fokus di bawah: $$ (x - 4)^2 = -20 (y + 3) $$ 22. Fokus parabola: - Jika fokus di atas: $(4, -3 + 5) = (4, 2)$ - Jika fokus di bawah: $(4, -3 - 5) = (4, -8)$ 23. Garis direktriks: - Jika fokus di atas: $$y = -3 - 5 = -8$$ - Jika fokus di bawah: $$y = -3 + 5 = 2$$ 24. Sumbu simetri adalah garis vertikal melalui puncak: $$x = 4$$. --- 25. Persamaan garis singgung parabola $$y^2 = 4x$$ yang melalui titik $T(1,-2)$. 26. Gradien garis singgung parabola di titik $(x_0,y_0)$ adalah $$m = \frac{2}{y_0}$$. 27. Persamaan garis singgung di titik $(x_0,y_0)$ adalah $$y y_0 = 2(x + x_0)$$. 28. Karena titik $T(1,-2)$ ada pada garis singgung, substitusi: $$-2 y_0 = 2(1 + x_0)$$. 29. Titik $(x_0,y_0)$ harus pada parabola: $$y_0^2 = 4 x_0$$. 30. Dari $$-2 y_0 = 2(1 + x_0) \Rightarrow - y_0 = 1 + x_0 \Rightarrow x_0 = - y_0 - 1$$. 31. Substitusi ke parabola: $$y_0^2 = 4(- y_0 - 1) \Rightarrow y_0^2 + 4 y_0 + 4 = 0 \Rightarrow (y_0 + 2)^2 = 0 \Rightarrow y_0 = -2$$. 32. Maka $$x_0 = -(-2) - 1 = 1$$. 33. Persamaan garis singgung: $$y (-2) = 2 (x + 1) \Rightarrow -2 y = 2 x + 2 \Rightarrow 2 y + 2 x + 2 = 0 \Rightarrow x + y + 1 = 0$$. --- 34. Hiperbola dengan pusat di $(-3,5)$, fokus pada garis horizontal, panjang sumbu transversalnya 8, dan eksentrisitas $e=\frac{5}{4}$. 35. Panjang sumbu transversalnya $2a = 8 \Rightarrow a = 4$. 36. Eksentrisitas $$e = \frac{c}{a} = \frac{5}{4} \Rightarrow c = a e = 4 \times \frac{5}{4} = 5$$. 37. Hubungan $$c^2 = a^2 + b^2 \Rightarrow b^2 = c^2 - a^2 = 25 - 16 = 9$$. 38. Karena fokus pada garis horizontal, persamaan hiperbola: $$\frac{(x + 3)^2}{16} - \frac{(y - 5)^2}{9} = 1$$. Jawaban akhir: 1. $$\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{20} = 1$$ 2. Garis singgung elips tegak lurus garis $$x + 2y + 6 = 0$$: $$y - \frac{1}{\sqrt{15}} = 2 \left(x + \frac{12}{\sqrt{15}}\right)$$ dan $$y + \frac{1}{\sqrt{15}} = 2 \left(x - \frac{12}{\sqrt{15}}\right)$$ 3a. Parabola: $$ (x - 4)^2 = 20 (y + 3) $$ atau $$ (x - 4)^2 = -20 (y + 3) $$ 3b. Fokus: $(4, 2)$ atau $(4, -8)$ 3c. Direktriks: $$y = -8$$ atau $$y = 2$$ 3d. Sumbu simetri: $$x = 4$$ 4. Garis singgung parabola $$y^2=4x$$ melalui titik $(1,-2)$: $$x + y + 1 = 0$$ 5. Hiperbola: $$\frac{(x + 3)^2}{16} - \frac{(y - 5)^2}{9} = 1$$