1. Planteamos el problema: Encontrar el conjunto de verdad $Ap(x)$ para el predicado $$p(x) : -2\sin^2\left(\frac{x}{2}\right) + 2\cos^2\left(\frac{x}{2}\right) - 1 = 0$$ en el intervalo $Re = [0, 2\pi]$. 2. Usamos la identidad trigonométrica $$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$$ para simplificar la expresión. 3. Reescribimos el predicado: $$-2\sin^2\left(\frac{x}{2}\right) + 2\cos^2\left(\frac{x}{2}\right) - 1 = 0$$ 4. Usamos $$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$$ para sustituir: $$-2\sin^2\left(\frac{x}{2}\right) + 2\left(1 - \sin^2\left(\frac{x}{2}\right)\right) - 1 = 0$$ 5. Simplificamos: $$-2\sin^2\left(\frac{x}{2}\right) + 2 - 2\sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - 1 = 0$$ $$-4\sin^2\left(\frac{x}{2}\right) + 1 = 0$$ 6. Despejamos: $$-4\sin^2\left(\frac{x}{2}\right) = -1$$ $$\sin^2\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{1}{4}$$ 7. Tomamos raíz cuadrada: $$\sin\left(\frac{x}{2}\right) = \pm \frac{1}{2}$$ 8. Encontramos las soluciones para $\frac{x}{2}$ en $[0, \pi]$ (porque $x \in [0, 2\pi]$): - Para $\sin\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{1}{2}$, $\frac{x}{2} = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$ - Para $\sin\left(\frac{x}{2}\right) = -\frac{1}{2}$, no hay soluciones en $[0, \pi]$ porque $\sin$ es positivo en ese intervalo. 9. Multiplicamos por 2 para obtener $x$: $$x = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$$ 10. Analizando el signo de la expresión original entre las raíces, se concluye que el conjunto de verdad es el intervalo abierto entre las soluciones: $$Ap(x) = \left(\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}\right)$$ Respuesta final: El conjunto de verdad es $$\left(\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}\right)$$.