1. Planteamos el problema: Dada la función de consumo $C(x) = 50x + 200$, queremos encontrar los valores de $x$ para los cuales el consumo está dentro de ciertos rangos alrededor del consumo óptimo de 1000 unidades. 2. Para la parte a), la condición es $$|C(x) - 1000| \leq 150$$ 3. Sustituimos $C(x)$ en la desigualdad: $$|50x + 200 - 1000| \leq 150$$ $$|50x - 800| \leq 150$$ 4. Recordemos que para una desigualdad de valor absoluto $|A| \leq B$, se cumple que $$-B \leq A \leq B$$ 5. Aplicamos esta propiedad: $$-150 \leq 50x - 800 \leq 150$$ 6. Sumamos 800 a todos los lados: $$-150 + 800 \leq 50x \leq 150 + 800$$ $$650 \leq 50x \leq 950$$ 7. Dividimos todo entre 50, mostrando la cancelación: $$\frac{650}{\cancel{50}} \leq x \leq \frac{950}{\cancel{50}}$$ $$13 \leq x \leq 19$$ 8. Para la parte b), la condición es $$|C(x) - 1000| < 100$$ 9. Repetimos el proceso: $$|50x + 200 - 1000| < 100$$ $$|50x - 800| < 100$$ 10. Aplicamos la propiedad de valor absoluto: $$-100 < 50x - 800 < 100$$ 11. Sumamos 800: $$700 < 50x < 900$$ 12. Dividimos entre 50 con cancelación: $$\frac{700}{\cancel{50}} < x < \frac{900}{\cancel{50}}$$ $$14 < x < 18$$ **Respuesta final:** - a) Los valores de $x$ que cumplen $|C(x)-1000| \leq 150$ son $$13 \leq x \leq 19$$ - b) Los valores de $x$ que cumplen $|C(x)-1000| < 100$ son $$14 < x < 18$$