1. **Énoncé du problème:** Calculer les expressions A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L et résoudre les questions sur l'expression H, et calculer $a^2 + b^2$ avec les conditions données. --- ### Exercice 1 **1. Calculer A et B:** $$A = -\left(\frac{7}{2} + 3\right) + \frac{55}{99} \times 77 \times \frac{3^2}{110}$$ Calculons chaque partie: - $\frac{7}{2} + 3 = \frac{7}{2} + \frac{6}{2} = \frac{13}{2}$ - $-\left(\frac{13}{2}\right) = -\frac{13}{2}$ Le second terme: - $\frac{55}{99} = \frac{5}{9}$ - $\frac{3^2}{110} = \frac{9}{110}$ Donc: $$\frac{5}{9} \times 77 \times \frac{9}{110} = \left(\frac{5}{9} \times 9\right) \times \frac{77}{110} = 5 \times \frac{7}{10} = \frac{35}{10} = \frac{7}{2}$$ Ainsi: $$A = -\frac{13}{2} + \frac{7}{2} = -\frac{6}{2} = -3$$ Pour $B$: $$B = \frac{8}{5} - \frac{1}{2} \times \frac{2}{5} + \frac{1}{5}$$ Calculons: $$\frac{1}{2} \times \frac{2}{5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$$ Donc: $$B = \frac{8}{5} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} = \frac{8}{5}$$ **2. Calculer et simplifier $C$ et $D$ :** $$C = (\sqrt{7})^2 + (\sqrt{2})^2 = 7 + 2 = 9$$ $$D = \sqrt{7^2} - \sqrt{28} + \sqrt{63} = 7 - \sqrt{28} + \sqrt{63}$$ Simplifions les racines: - $\sqrt{28} = \sqrt{4 \times 7} = 2 \sqrt{7}$ - $\sqrt{63} = \sqrt{9 \times 7} = 3 \sqrt{7}$ Alors: $$D = 7 - 2\sqrt{7} + 3\sqrt{7} = 7 + \sqrt{7}$$ **3. Rendre rationnel les dénominateurs :** - $$E = \frac{2}{3\sqrt{5}} = \frac{2}{3\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{3 \times 5} = \frac{2\sqrt{5}}{15}$$ - $$F = \frac{5}{\sqrt{3} - \sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{3} + \sqrt{5}}{\sqrt{3} + \sqrt{5}} = \frac{5(\sqrt{3} + \sqrt{5})}{3 - 5} = \frac{5(\sqrt{3} + \sqrt{5})}{-2} = -\frac{5}{2}(\sqrt{3} + \sqrt{5})$$ - $$G = \frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{2} + 1} \times \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{5\sqrt{2}(\sqrt{2} - 1)}{2 - 1} = 5\sqrt{2}(\sqrt{2} - 1) = 5 (2 - \sqrt{2}) = 10 - 5\sqrt{2}$$ ### Exercice 2 **1. Développer et simplifier $H$ :** $$H = (\sqrt{3} - 1)^2 + 2(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 2) + (\sqrt{3} + 1)^2$$ Calculons chaque terme: - $(\sqrt{3} - 1)^2 = 3 - 2\sqrt{3} + 1 = 4 - 2\sqrt{3}$ - $(\sqrt{3} + 1)^2 = 3 + 2\sqrt{3} + 1 = 4 + 2\sqrt{3}$ Le terme au milieu: $$2(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 2) = 2[(\sqrt{3})(\sqrt{3}) + 2\sqrt{3} - 1\sqrt{3} - 2] = 2(3 + 2\sqrt{3} - \sqrt{3} - 2) = 2(1 + \sqrt{3}) = 2 + 2\sqrt{3}$$ Additionnons tous: $$(4 - 2\sqrt{3}) + (2 + 2\sqrt{3}) + (4 + 2\sqrt{3}) = (4 + 2 + 4) + (-2\sqrt{3} + 2\sqrt{3} + 2\sqrt{3}) = 10 + 2\sqrt{3}$$ **2. Factoriser $I$ et $J$ :** - $$I = (\sqrt{3} - x) + x(\sqrt{3} - x) = (\sqrt{3} - x)(1 + x)$$ - $$J = 25x^2 - 4 = (5x - 2)(5x + 2)$$ **3. Écriture scientifique de $K$ et $L$ :** - $$K = \frac{63000000}{0.00009} = \frac{6.3 \times 10^7}{9 \times 10^{-5}} = \frac{6.3}{9} \times 10^{7 + 5} = 0.7 \times 10^{12} = 7 \times 10^{11}$$ - $$L = 801.2 \times 0.0073 \times 10^3 = 801.2 \times 7.3 \times 10^{-3} \times 10^3 = 801.2 \times 7.3 = 5858.76 \, (\text{car } 10^{-3} \times 10^3 = 1)$$ ### Exercice 3 Expression donnée: $$H = \frac{b a^{-4} \times (a^{-3} b)^{-5}}{a^{11} \times (a b^2)^4 \times b^2}$$ **1. Montrer que $H = a^{-4} b^{-14}$** Simplifions le numérateur: $$(a^{-3} b)^{-5} = a^{15} b^{-5}$$ Alors: $$H = \frac{b a^{-4} a^{15} b^{-5}}{a^{11} (a b^2)^4 b^2} = \frac{a^{11} b^{-4}}{a^{11} a^4 b^8 b^2} = \frac{a^{11} b^{-4}}{a^{15} b^{10}}$$ Simplifions: $$H = a^{11 - 15} b^{-4 - 10} = a^{-4} b^{-14}$$ **2. Calculer $H$ pour $a=2$ et $b=10^{-2}$:** $$H = 2^{-4} \times (10^{-2})^{-14} = \frac{1}{16} \times 10^{28} = \frac{10^{28}}{16} = 0.625 \times 10^{28} = 6.25 \times 10^{27}$$ **3. Écriture scientifique du résultat:** $$6.25 \times 10^{27}$$ ### Exercice 4 Données: - $$a \times b = \frac{1}{2}$$ - $$a + b = 2$$ Calculons: $$a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = 2^2 - 2 \times \frac{1}{2} = 4 - 1 = 3$$