1. El problema es encontrar los puntos de corte con el eje $x$ de la función cuadrática $$y = x^2 + 4x + 3.$$ 2. Para encontrar los cortes con el eje $x$, debemos resolver la ecuación $$x^2 + 4x + 3 = 0,$$ porque en esos puntos $y=0$. 3. La fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas es $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a},$$ donde $a$, $b$ y $c$ son los coeficientes de la ecuación $ax^2 + bx + c = 0$. 4. En nuestro caso, $a=1$, $b=4$, y $c=3$. Sustituimos en la fórmula: $$x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{4}}{2}.$$ 5. Simplificamos la raíz cuadrada: $$x = \frac{-4 \pm 2}{2}.$$ 6. Ahora calculamos las dos soluciones: Para $x = \frac{-4 + 2}{2} = \frac{-2}{2} = -1$. Para $x = \frac{-4 - 2}{2} = \frac{-6}{2} = -3$. 7. Por lo tanto, los puntos de corte con el eje $x$ son $x = -1$ y $x = -3$. 8. Esto significa que la parábola cruza el eje $x$ en los puntos $(-1, 0)$ y $(-3, 0)$. 9. La gráfica de la función es una parábola que abre hacia arriba porque $a=1 > 0$. 10. El vértice se puede encontrar con la fórmula $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2} = -2$, y evaluando $y_v = (-2)^2 + 4(-2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$. 11. El vértice es $(-2, -1)$, que es el punto más bajo de la parábola. 12. Resumen: Los cortes con $x$ son $(-3,0)$ y $(-1,0)$, y el vértice está en $(-2,-1)$.