1. مسئله: تعداد جواب‌های معادله $$\sqrt{x-1} + \sqrt{x-4} = \sqrt{x-5}$$ را بیابید. 2. دامنه تعریف: برای رادیکال‌ها باید زیر رادیکال‌ها غیرمنفی باشند: $$x-1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1$$ $$x-4 \geq 0 \Rightarrow x \geq 4$$ $$x-5 \geq 0 \Rightarrow x \geq 5$$ پس دامنه کلی معادله $$x \geq 5$$ است. 3. معادله را به صورت زیر بنویسید: $$\sqrt{x-1} + \sqrt{x-4} = \sqrt{x-5}$$ 4. هر دو طرف را به توان 2 برسانید: $$\left(\sqrt{x-1} + \sqrt{x-4}\right)^2 = (\sqrt{x-5})^2$$ $$x-1 + 2\sqrt{(x-1)(x-4)} + x-4 = x-5$$ 5. ساده‌سازی: $$2x - 5 + 2\sqrt{(x-1)(x-4)} = x - 5$$ 6. جابجایی جملات: $$2\sqrt{(x-1)(x-4)} = x - 5 - (2x - 5) = -x$$ 7. چون سمت چپ مثبت یا صفر است، سمت راست باید $$\geq 0$$ باشد: $$-x \geq 0 \Rightarrow x \leq 0$$ اما دامنه $$x \geq 5$$ است، پس هیچ $$x$$ ای نمی‌تواند همزمان این دو شرط را داشته باشد. 8. نتیجه: معادله هیچ جوابی ندارد. پاسخ نهایی: گزینه ۱) صفر