1. **Problème :** Une entreprise investit 5 000 dans une technologie qui prend de la valeur à un taux de 12% par an. 2. **Formule utilisée :** La valeur future d'un investissement avec intérêt composé est donnée par $$V = V_0 \times (1 + r)^t$$ où $V_0$ est la valeur initiale, $r$ le taux de croissance annuel, et $t$ le temps en années. 3. **a) Équation :** Ici, $V_0 = 5000$, $r = 0.12$, donc l'équation est $$V = 5000 \times (1 + 0.12)^t = 5000 \times 1.12^t$$ 4. **b) Calcul de la valeur après 5 ans :** $$V = 5000 \times 1.12^5$$ Calculons $1.12^5$ : $$1.12^5 = 1.12 \times 1.12 \times 1.12 \times 1.12 \times 1.12 = 1.7623$$ (arrondi) Donc : $$V = 5000 \times 1.7623 = 8811.5$$ La valeur de l'investissement après 5 ans sera donc environ 8811.5. --- 5. **Problème :** Un médicament dans le sang diminue de 25% toutes les 6 heures avec une dose initiale de 100 mg. 6. **Formule utilisée :** La décroissance exponentielle est donnée par $$D = D_0 \times (1 - r)^t$$ où $D_0$ est la dose initiale, $r$ le taux de décroissance par période, et $t$ le nombre de périodes. 7. **a) Équation :** Ici, $D_0 = 100$, $r = 0.25$, donc $$D = 100 \times (1 - 0.25)^t = 100 \times 0.75^t$$ où $t$ est le nombre de périodes de 6 heures. 8. **b) Calcul après 18 heures :** Le nombre de périodes de 6 heures dans 18 heures est $$t = \frac{18}{6} = 3$$ Donc : $$D = 100 \times 0.75^3 = 100 \times 0.421875 = 42.1875$$ Il restera environ 42.19 mg de médicament après 18 heures. --- 9. **Problème :** Une plante est arrosée avec un engrais qui augmente sa taille de 15% chaque semaine. 10. **Choix de l'équation correcte :** - a) $V = V_0 \times 0.85^t$ (diminue de 15%) - b) $V = V_0 \times 1.15^t$ (augmente de 15%) - c) $V = V_0 \times 1.50^t$ (augmente de 50%) La bonne réponse est b) car la plante grandit de 15% chaque semaine. --- 11. **Problème :** Une voiture perd 30% de sa valeur chaque année. Sa valeur initiale est 40 000. 12. **Question :** Que représente 't' dans l'équation ? 13. **Réponse :** 't' représente le nombre d'années écoulées. 14. **Facteur de valeur restante :** La voiture conserve 70% de sa valeur chaque année, donc le facteur est 0.70. --- 15. **Problème :** Si une population triple tous les 3 jours, quel est le facteur de croissance ? 16. **Réponse :** Le facteur de croissance est 3 (la population est multipliée par 3). --- 17. **Problème :** Une entreprise observe une décroissance de 5% par mois. Quel est le facteur ? 18. **Réponse :** Le facteur est 0.95 (car 1 - 0.05 = 0.95). --- 19. **Problème :** Quelle situation représente une décroissance exponentielle ? 20. **Réponse :** b) Une population qui diminue de 2% par an. --- **Résumé des réponses :** - Partie C1a : $V = 5000 \times 1.12^t$ - Partie C1b : $V(5) \approx 8811.5$ - Partie C2a : $D = 100 \times 0.75^t$ - Partie C2b : $D(3) \approx 42.19$ - Partie D1 : b) $V = V_0 \times 1.15^t$ - Partie D2 : 't' est le nombre d'années, facteur 0.70 - Partie E1 : a) facteur 3 - Partie E2 : c) facteur 0.95 - Partie E3 : b) décroissance exponentielle